Espai euclidià

Un espai euclidià és un espai vectorial normat de dimensió finita, en què la norma és heretada d'un producte escalar.^[1]

Primera aproximació modifica

L'espai euclidià treu el seu nom del matemàtic grec Euclides.^[2] Històricament, l'espai euclidià consta només de l'espai físic de 2 o 3 dimensions: el pla o l'espai, en el qual estan definits el punts. Aquests espais euclidians naturals són els universos en què van ser demostrats tots els grans teoremes de la geometria plana o de l'espai. Són els objectes d'estudi de tots els geòmetres des d'abans d'Euclides fins al segle xix.

En el segle xix, aquesta visió de l'espai comença a mostrar els seus límits. És en aquest moment quan es va veure la necessitat de donar-li unes definicions més formals i més generals.

Definicions matemàtiques modifica

Espai vectorial euclidià modifica

Un espai vectorial euclidià és un espai vectorial sobre $\mathbb {R}$ , de dimensió finita n i dotat d'un producte escalar.

En qualsevol espai vectorial, sempre s'hi pot trobar una base ortonormal. En una tal base, es defineix el producte escalar canònic per:

\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle (u_{1},u_{2},...,u_{n}),(v_{1},v_{2},...,u_{n})\rangle =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+...+u_{n}v_{n}

.

Quan es té definit un producte escalar, és possible definir una norma, que s'anomena norma euclidiana:

\lVert \mathbf {u} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}

,

i que també permet introduir la noció d'angle: l'angle geomètric entre dos vectors u, v no nuls, és un valor real $\theta$ comprès entre 0 i π, tal que:

\cos \theta ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\lVert \mathbf {u} \rVert \cdot \lVert \mathbf {v} \rVert }}

Espai afí euclidià modifica

Un espai afí euclidià és l'espai afí associat a un espai vectorial euclidià.

S'hi pot definir una distància, nocions de l'angle geomètric, s'hi retroba el teorema de Pitàgores i la propietat de la suma dels angles de qualsevol triangle.

Exemples d'espai vectorial euclidià modifica

L'espai $\mathbb {R} ^{n}$ , amb el producte escalar euclidià:

\langle (x_{1},x_{2},...,x_{n}),(y_{1},y_{2},...,y_{n})\rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{n}y_{n},

és un espai vectorial euclidià de dimensió n.

L'espai vectorial dels polinomis de grau igual o inferior a n:
- amb el producte escalar euclidià:

\left\langle \sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i},\sum _{i=o}^{n}b_{i}Y^{i}\right\rangle =\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{i}

és un espai euclidià de dimensió $n+1$ .

- amb el producte escalar:

\langle P,Q\rangle =\int _{0}^{1}P(t)Q(t)dt

és també un espai euclidià amb una norma diferent.

Propietats dels espais euclidians modifica

En tot espai euclidià, es pot definir una base ortonormal. Més concretament, si $(u_{1},u_{2},...,u_{n})\,$ és una base de $\mathbf {E}$ , existeix una base $(v_{1},v_{2},...,v_{n})\,$ ortonormal, tal que per a tot $k$ entre 1 i n, es compleix que:

\langle u_{1},u_{2},...,u_{k}\rangle =\langle v_{1},v_{2},...,v_{k}\rangle \,

,

en què s'entén per $\langle u_{1},u_{2},...,u_{k}\rangle \,$ la varietat lineal engendrada per aquells $k$ elements de la base.

Tot espai vectorial euclidià de dimensió $n$ és isomorf a $\mathbb {R} ^{n}$ .

Tot espai vectorial euclidià és complet. És, per tant, un cas particular d'espai de Banach.

Dos vectors amb producte escalar nul es diuen ortogonals. En tot subespai vectorial $\mathbf {F}$ d'un espai euclidià $\mathbf {E}$ es pot associar un únic subespai $\mathbf {F} ^{\bot }$ format per tots els vectors ortogonals a tots els vectors de $\mathbf {F}$ , que és el seu ortogonal.

Si $x\,$ és un vector de $\mathbf {E}$ , l'aplicació producte escalar per $x\,$ , $s_{x}:y\mapsto <x,y>$ és una forma lineal. L'aplicació que associa $x\,$ a $s_{x}\,$ és un isomorfisme de l'espai vectorial $\mathbf {E}$ en el seu dual $\mathbf {E} ^{*}$ .