Distribució de Weibull

A la teoria de la probabilitat i l'estadística, la distribució Weibull (batejada en honor de Waloddi Weibull) és una distribució de probabilitat contínua.

La distribució Weibull s'utilitza habitualment per a l'anàlisi de dades de supervivència, degut a la seva flexibilitat i tractabilitat matemàtica. Pot imitar el comportament d'altres distribucions com la distribució normal quan k=3.4 i reproduïr exactament la distribució exponencial quan k=1. Si la funció de risc decreix al llarg del temps, aleshores k < 1. Si és constant, k = 1. Si creix al llarg del temps, k > 1.

La funció de risc ajuda a comprendre què està causant les morts/fallides:

• Un risc decreixent suggereix "mortalitat infantil". És a dir, els ítems defectuosos fallen al principi i per tant a mida que avança el temps només queden els ítems no defectuosos, i el risc de fallida disminueix.

• Un risc constant suggereix que no hi ha ítems defectuosos, i que els ítems no es desgasten amb el temps.

• Un risc creixent indica que els ítems es desgasten, i per tant a mida que avança el temps augmenta el risc d'una fallida.

Caracterització

Funció de probabilitat de densitat

La seva funció de densitat de probabilitat és

$f(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,$

per a $x\geq 0$ i f(x; k, λ) = 0 per a x < 0, on $k>0$ és el paràmetre de forma i $\lambda >0$ és el paràmetre d'escala.

Funció de distribució

La funció de distribució pot calcular-se de forma explícita, fet que fa la distribució Weibull atractiva per a modelar certs tipus de dades, com per exemple en l'anàlisi de la supervivència.

$F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}$

Funció de risc

$h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.$

Propietats

Mitjana: $\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,$

Mediana: $\lambda \ln(2)^{1/k}\,$

Moda: $\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}\,$ if $k>1$

Variància: $\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}\,$

Asimetria: ${\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$

Moment d'ordre n: $m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma (1+n/k)\,$, on $\Gamma$ és la funció Gamma.

Generalització

Existeix una genelització de la distribució Weibull, que empra tres paràmetres. La funció de probabilitat de densitat és

$f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}\,$

per a $x\geq \theta$ i f(x; k, λ, θ) = 0 per x < θ, on $k>0$ és el paràmetre de forma, $\lambda >0$ és el paràmetre d'escala i $\theta$ és el paràmetre de localització. Quan θ=0, aquesta expressió es redueix a la distribució Gamma de dos paràmetres.

La funció de distribució és

$F(x;k,\lambda ,\theta )=1-e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}$

per a x ≥ θ, i F(x; k, λ, θ) = 0 per a x < θ.

Generació de valors aleatoris

Donada una observació aleatoria U obtinguda de la distribució uniforme en l'interval (0, 1), aleshores

$X=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,$

segueix una distribució Weibull amb paràmetres k i λ. Aquest resultat és una conseqüència immediata d'aplicar la transformació de distribució inversa.

Distribucions rel·lacionades

• $X\sim \mathrm {Exponential} (\lambda )$ és una distribució exponencial si $X\sim \mathrm {Weibull} (\gamma =1,\lambda ^{-1})$.
• $X\sim \mathrm {Rayleigh} (\beta )$ és una distribució Rayleigh si $X\sim \mathrm {Weibull} (\gamma =2,{\sqrt {2}}\beta )$.
• $\lambda (-\ln(X))^{1/k}\,$ és una distribució Weibull si $X\sim \mathrm {Uniform} (0,1)$.
• Si X segueix una distribució Weibull, 1/X segueix una distribució Weibull inversa amb funció de densitat de probabilitat $f(x;k,\lambda )=(k/\lambda )(\lambda /x)^{(k+1)}e^{-(\lambda /x)^{k}}$
• Veure també la distribució generalitzada del valor extrem.