Georg Cantor: diferència entre les revisions

Al desembre de [[1873]] Cantor escrigué a [[Richard Dedekind|Dedekind]] que podia demostrar que els reals no eren numerables. El famós [[Diagonalització de Cantor|argument de la diagonalització]] vingué després.

 

 

Les seves revolucionàries idees foren desenvolupades en una sèrie de treballs que tingueren data entre [[1879]] i [[1884]]. Durant aquests anys, un seguit de problemes dificultaren la feina de Cantor, que acabà la correspondència amb alguns dels seus amics de la universitat. L'any [[1881]], després de la mort de [[Heine]], proposà a [[Richard Dedekind|Dedekind]] per al mateix lloc a la universitat, però aquest declinà. A causa d’això, la seva correspondència matemàtica acabà poc després. Tanmateix, començà una fructífera amistat amb [[Mittag-Leffler]], qui li permeté publicar l’[[Acta Mathematica]]. Els darrers articles foren publicats en una [[monografia]] titulada ''[[Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre]]'' (''fonaments de la teoria general dels conglomerats''). Aquest fou especialment important per diversos motius, un dels quals per defensa de la crítica que va rebre, citant el seu autor:<blockquote>“M’adono que amb aquesta empresa meva em trobo amb una certa oposició al punt de vista extensament generalitzat pel que fa a l’[[infinit]] matemàtic i a l'opinió freqüentment defensada de la naturalesa dels [[nombres]].” </blockquote>Tanmateix, citant la seva pròpia explicació de l’article:<blockquote>“El major assoliment dels ''Grundlagen'' fou la presentació dels [[nombres transfinits]] com una idea autònoma i una extensió sistemàtica dels [[nombres naturals]].” </blockquote>En aquest treball els conceptes de naturalesa [[topologia|topològica]] comencen a sorgir. Les definicions de [[conjunt dens|subconjunt dens]], la idea de [[conjunt obert]] i [[conjunt tancat|tancat]] s’originen amb Cantor. Més tard, aquestes tindrien una repercussió important en els [[Espai de Fréchet|espais abstractes de Fréchet]] i en el clàssic ''[[Grundzüge der Mengenlehre]]'' (''Principis de la teoria de conjunts'') de [[Hausdorff]]. La feina dels [[nombres transfinits]] fou només la primera passa del programa. Però, per perfeccionar la teoria, necessitava la [[Hipòtesi del Continu|hipòtesi del continu]], que romangué com un dels [[problemes de Hilbert|23 problemes de Hilbert]].&nbsp;

Els primers articles de Cantor són sobre [[teoria de nombres]], el tema de la seva tesi. Sota el suggeriment d'[[Eduard Heine]], Professor a Halle, Cantor va interessar-se per l'[[Anàlisi Matemàtica]]. Heine proposà a Cantor de resoldre un problema obert que [[Dirichlet]], [[Lipschitz]], [[Bernhard Riemann]], i el mateix [[Eduard Heine]] no havien pogut resoldre: la unicitat de la representació d'una [[Funció (matemàtiques)|funció]] mitjançant [[sèries trigonomètriques]]. Cantor va resoldre el problema l'any 1869. Entre 1870 i 1872, Cantor va publicar més articles sobre [[sèries trigonomètriques]], incloent-ne un on definia els [[nombres irracionals]] com una seqüència convergent de [[nombre racionals]]. Dedekind, amb qui Cantor va fer amistat el 1872, cita aquest article aquell mateix any en l'article on ell mateix primer va desenvolupar la seva celebrada definició dels nombres reals mitjançant les [[talladures de Dedekind]].

 

 

L'article de 1874 també demostra que el conjunt dels [[nombres algebraics]], és a dir, el conjunt dels [[zeros]] d'[[equació polinòmica|equacions polinòmiques]] amb [[coeficients]] [[enters]], és numerable. Els nombres reals que no són algebraics s'anomenen [[nombre transcendent|nombres transcendents]]. [[Joseph Liouville|Liouville]] ja havia establert l'existència de nombres transcendents l'any 1851. Cantor havia demostrat que el conjunt dels [[nombres reals]] no era numerable i que la unió d'una quantitat numerable de conjunts numerables és numerable. Com que un nombre real és o bé algebraic o bé transcendent, el conjunt de nombres transcendents no és numerable. Així, el conjunt dels nombres transcendents és igual de gran que el conjunt dels nombres reals, i "gairebé tot" nombre real ha de ser transcendent. Cantor va remarcar que efectivament ell havia demostrat un teorema ja demostrat per [[Joseph Liouville|Liouville]], que hi ha una quantitat infinita de nombres transcendents en cada interval de nombres reals.

El 1874, Cantor va començar a buscar una [[bijecció]] entre els punts del quadrat unitat i els punts de l'[[interval unitat]]. En la carta de l'any 1877 a [[Richard Dedekind|Dedekind]], Cantor demostra un resultat molt més general: que hi ha una bijecció entre els punts de l'interval unitat i tots els punts en un espai ''p''-dimensional. Sobre aquest descobriment Cantor va escriure (en francès) "Ho veig, però no ho puc creure!" Aquest resultat sorprenent té implicacions en geometria i la noció de dimensió.

 

 

Aquest article precisava la noció de bijecció i definia el concepte de [[conjunt numerable]] com el de conjunt que pot ser posat en correspondència bijectiva amb el conjunt dels [[nombres naturals]]. Cantor introdueix la noció de "potència" (un terme que pren de [[Jakob Steiner]]) o [[equipotència]] de conjunts; dos conjunts són equipotents (tenen la mateixa potència) si hi ha una correspondència bijectiva entre ells. Després demostra que el conjunt dels nombres racionals té la potència infinita més petita, i que ''' <math>\mathbb{R}^n</math> ''' té la mateixa potència que '''<math>\mathbb{R}</math>'''. A més a més, una quantitat numerable de còpies de '''<math>\mathbb{R}</math>''' té la mateixa potència que '''<math>\mathbb{R}</math>'''. Mentre que va utilitzar sovint el concepte de [[numerable]], no va escriure la paraula "numerable" fins al 1883. Cantor també hi analitza la seva teoria sobre la dimensió [[dimensió]], insistint que la seva [[Funció matemàtica|aplicació]] entre l'interval unitat i el quadrat unitat no era continu.