|
La '''transformada de Laplace''' d'una [[funció matemàtica|funció]] ''f''(''t'') definida (en [[matemàtiques]] i, en particular, en [[anàlisi funcional]]) per a tot [[nombre real]] t, i el transforma en una [[Nombre complex|variable complexa]] s (freqüència). La transformada de Laplace és similar a la transformada de Fourier. Mentre que la transformada de Fourier és una funció complexa de una variable real, la transformada de Laplace és una funció complexa de una variable complexa.<ref>{{Ref-web|url=http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html|títol=Laplace Transform|consulta=2017-03-02|nom=Weisstein, Eric|cognom=W.|llengua=anglès|editor=mathworld.wolfram.com|data=}}</ref>
Aquesta transformada integral té una sèrie de propietats que la fan útil en l'anàlisi de sistemes lineals. Un dels avantatges més significatius rau en el fet que la integració i derivació es converteixen en multiplicació i divisió. Això transforma les equacions diferencials i integrables en equacions polinòmiques, molt més fàcils de resoldre.<ref>{{Ref-web|url=https://www.khanacademy.org/math/differential-equations/laplace-transform|títol=Laplace transform {{!}} Differential equations {{!}} Math {{!}} Khan Academy|consulta=2017-03-02|llengua=anglès|editor=www.khanacademy.org|data=}}</ref>
Una altra aplicació important en els sistemes lineals és el càlcul del senyal de sortida. Aquesta es pot calcular mitjançant la [[convolució]] de la resposta impulsiva del sistema amb el senyal d'entrada. La realització d'aquest càlcul a l'espai de Laplace converteix la convolució en una multiplicació, habitualment més senzilla.
La transformada de Laplace pren el seu nom en honor de [[Pierre-Simon Laplace]].
La transformada de Laplace és al temps continu el que la transformada de Z és al discret.<ref>{{Ref-web|url=http://www.intmath.com/laplace-transformation/2-definition.php|títol=2. Definition of the Laplace Transform|consulta=2017-03-02|nom=Murray|cognom=Bourne|llengua=anglès|editor=www.intmath.com|data=}}</ref>
:
== Perspectiva històrica ==
La transformada de Laplace rep el seu nom en honor del matemàtic francès [[Pierre-Simon Laplace]], que la va presentar dins de la seva teoria de la probabilitat. El 1744, [[Leonhard Euler]] va investigar un conjunt d'integrals de la forma:
:<math> z = \int X(x) e^{ax}\, dx </math> i <math> z = \int X(x) x^A \, dx,</math>
- Com a solucions d'equacions diferencials, però no va aprofundir en elles i aviat va abandonar la seva recerca. [[Joseph Louis Lagrange]], admirador d'Euler, també va investigar aquest tipus d'integrals, i les va lligar a la teoria de la probabilitat en un treball sobre funcions de densitat de probabilitat de la forma:
:<math> \int X(x) e^{- a x } a^x\, dx,</math>
- que alguns historiadors interpreten com a autèntiques transformades de Laplace.
Aquest tipus d'integrals van atreure l'atenció de Laplace quan, el 1782, i seguint la idea d'Euler, va tractar d'emprar aquestes integrals com a solucions d'equacions diferencials. Sembla que el 1785 va fer un pas més enllà, i va reenfocar el problema per a en comptes d'usar les integrals com a solucions, aplicar-les a les equacions donant lloc a les transformades de Laplace tal com avui en dia s'entenen. Va usar una integral de la forma:
:<math > \int x^s \phi (s)\, dx,</math>
== Definicío formal ==
per a tots els [[nombre real|nombres reals]] ''t'' ≥ 0, és la funció ''F''(''s''), definida per:
: <math>F(s)
= \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}
=\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.</math>
sempre que la integral estigui definida.
La transformada de Laplace ''F''(''s'') típicament existeix per a tots els nombres reals ''s'' > ''a'', on ''a'' és una constant que depèn del comportament de creixement de ''f''(''t'').
Degut a la injectivitat de les transformades de Laplace <math>f(t)\neq g(t) \Longrightarrow \mathcal{L}\{f(t)\} \neq \mathcal{L}\{g(t)\}</math> és possible definir la transformada de Laplace inversa (també anomenada integral de [[Thomas John I'Anson Bromwich|Bromwich]]):
<math>\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=f(t)</math>
On <math>F(s)\equiv \mathcal{L}\{f(t)\}</math>
== Propietats ==
=== [[Linealitat]] ===
: <math>\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
= a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}</math>
{{Caixa desplegable|títol=Demostració|contingut= <div align="left">
La linealitat de la transformada de Laplace es deu a la linealitat de la integral, efectivament, si considerem la funció <math>h(t)=a f(t)+b g(t) </math>, aleshores
:<math> \mathcal{L}\{h(t)\}=\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}\equiv \int_0^{\infty}e^{-st}(af(t)+bg(t))dt=a \int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt+b\int_0^{\infty}e^{-st}g(t) dt \equiv a \mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}</math>
</div>
}}
=== [[Derivació]] ===
: <math>\mathcal{L}\{f'(t)\}
= s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)</math>
: <math>\mathcal{L}\{f''(t)\}
= s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)</math>
: <math>\mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\}
= s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)</math>
: <math>\mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\}
= s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - \sum_{i=1}^{n} s^{n - i} f^{(i - 1)}(0) </math>
: <math>\mathcal{L}\{ t f(t)\}
= -F'(s)</math>
: <math>\mathcal{L}\{f(e^{t^2}))</math> (que creix més ràpid que <math>e^{-st}</math>) no poden ser obtingudes per Laplace, ja que <math>e^{t^2}</math>, no és una funció d'ordre exponencial.
{{Caixa desplegable|títol=Demostració|contingut= <div align="left">
1: <math>\mathcal{L}\{f'(t)\}=s\mathcal{L}\{f(t)\}-f(0)</math>
:Fem servir la definició de la transformada i integrem per parts:
:<math>\mathcal{L}\{f'(t)\}\equiv \int_0^{\infty} e^{-st}f'(t)dt</math>
:<math>u=e^{-st}\rightarrow du=-se^{-st}dt ; dv=f'(t)dt\rightarrow v=f(t)</math>
:<math>\mathcal{L}\{f'(t)\}\equiv \int_0^{\infty} e^{-st}f'(t)dt=[e^{-st}f(t)]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}-se^{-st}f(t)dt=[0-e^{0}f(0)]+s\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt\equiv s\mathcal{L}\{f(t)\}-f(0)</math>
2: <math>\mathcal{L}\{f''(t)\}=s^2\mathcal{L}\{f(t)\}-sf(0)-f'(0)</math>
:Si definim una nova funció <math>g(t)=f'(t)</math>, aleshores, per la propietat (1) tenim
:<math>\mathcal{L}\{f''(t)\}=\mathcal{L}\{g'(t)\}\equiv s\mathcal{L}\{g(t)\}-g(0)=s\mathcal{L}\{f'(t)\}-f'(0)</math>
:Si tornem a aplicar la propietat (1):
:<math>s\mathcal{L}\{f'(t)\}-f'(0)=s[s\mathcal{L}\{f(t)\}-f(0)]-f'(0)=s^2\mathcal{L}\{f(t)\}-sf(0)-f'(0)</math>
3: <math>\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}=s^n \mathcal{L}\{f(t)\}-\sum_{i=1}^ns^{n-i}f^{(i-1)}(0)</math>
:Demostrem-ho per inducció, primer hem de comprovar que l'equació es compleix per a n=1 i després demostrarem que si l'equació es compleix per a n=m, aleshores també s'ha de complir per a n=m+1.
:<math>\mathcal{L}\{f^{(1)}(t)\}=s^1 \mathcal{L}\{f(t)\}-\sum_{i=1}^1s^{1-i}f^{(i-1)}(0)=s \mathcal{L}\{f(t)\}-f(0)</math>. Que es compleix com hem vist a (1)
:Ara suposem que l'equació és certa quan n=m. Definim <math>g(t)=f'(t)</math>. Aleshores tenim que
:<math>\mathcal{L}\{f^{(m+1)}(t)\}=\mathcal{L}\{g^{(m)}(t)\}=s^m \mathcal{L}\{g(t)\}-\sum_{i=1}^ms^{m-i}g^{(i-1)}(0)=s^m \mathcal{L}\{f'(t)\}-\sum_{i=1}^ms^{m-i}f^{(i)}(0)</math>
:Com que i és un índex mut el podem canviar per k sense afectar el resultat, com que a més hem demostrat que l'equació es compleix quan n=1 podem aplicar-ho i tenim
:<math>s^m \mathcal{L}\{f'(t)\}-\sum_{i=1}^ms^{m-i}f^{(i)}(0)=s^m[s\mathcal{L}\{f(t)\}-f(0)]-\sum_{k=1}^ms^{m-k}f^{(k)}(0)=s^{m+1}\mathcal{L}\{f(t)\}-s^mf(0)-\sum_{k=1}^ms^{m-k}f^{(k)}(0)=s^{m+1}\mathcal{L}\{f(t)\}-\sum_{k=0}^ms^{m-k}f^{(k)}(0)</math>
:On l'última igualtat es deu al fet que el terme <math>s^mf(0)=s^{m-0}f^{(0)}(0)</math>. Finalment, fent un canvi d'índex i agafant <math>i=k+1</math> tenim
:<math>s^{m+1}\mathcal{L}\{f(t)\}-\sum_{i=1}^{m+1}s^{m+1-i}f^{(i-1)}(0)</math>
:D'on obtenim finalment que
:<math>\mathcal{L}\{f^{(m+1)}(t)\}=s^{m+1} \mathcal{L}\{f(t)\}-\sum_{i=1}^{m+1}s^{m+1-i}f^{(i-1)}(0)</math>
:Que és l'espresió que ens dona l'equació per n=m+1
4: <math>\mathcal{L}\{tf(t)\}=-F'(s)</math>
:<math>-F'(s)=-\frac{d}{ds}(\mathcal{L}\{f(t)\}) \equiv -\frac{d}{ds}\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt=-\int_0^{\infty}\frac{d}{ds}(e^{-st}f(t))dt=-\int_0^{\infty}-te^{-st}f(t)dt=\int_0^{\infty}e^{-st}tf(t)dt\equiv \mathcal{L}\{tf(t)\}</math>
</div>
}}
=== [[Integració]] ===
: <math>\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\}
= {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}</math>
=== Producte per t^n ===
: <math>\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^n\frac{d^n F(s)}{ds^n}</math>
=== Divisió per t^n ===
: <math>F(s)
= \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}
=\int_{s}^\infty F(s)\,ds.</math>
=== Modulació ===
: <math>\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} =
F(s-a)</math>
=== Translació ===
: <math>\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\}
= e^{-as} F(s)</math>
: <math>\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\}
= f(t - a) u(t - a)</math>
Nota: <math>u(t)</math> es la [[funció esglaó]] o funció de Heaviside.
=== Escalat ===
: <math>\mathcal{L}\left\{ f(at) \right\} =
\frac{1}{a}F(s/a)</math>
=== Transformada de Laplace d'una funció amb període ''p'' ===
: <math>\mathcal{L}\{ f \}
= {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt</math>
== Transformades comunes ==
=== Potencia ''n''-èsima ===
: <math>\mathcal{L}\left\{t^n \right\} = \frac {n!}{s^{n+1}}</math>, si <math>n \in \N </math>
=== Sinus ===
: <math>\mathcal{L}\{\,\sin(\omega t)\} =\frac{ \omega }{s^2 + \omega^2}</math>
=== Cosinus ===
: <math>\mathcal{L}\{\,\cos(\omega t)\} = \frac {s}{s^2 + \omega^2}</math>
{{Caixa desplegable|títol=Demostració de les funcions sinus i cosinus|contingut= <div align="left">
Les transformades de Laplace de les funcions sinus i cosinus són, per definició:
<math>\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}=\int_0^{\infty}e^{-st}\sin(\omega t)dt</math>
<math>\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}=\int_0^{\infty}e^{-st}\cos(\omega t)dt</math>
Integrem per parts la primera integral:
<math>u=\sin(\omega t) \rightarrow du=\omega \cos(\omega t)dt ; dv=e^{-st}dt \rightarrow v=\frac{-1}{s}e^{-st}</math>
<math>\int_0^{\infty}e^{-st}\sin(\omega t)dt=\bigg[\frac{-\sin(\omega t)e^{-st} }{s} \bigg]_0^{\infty}+\int_0^{\infty}\frac{e^{-st} \omega \cos(\omega t)}{s}dt=0+\frac{\omega}{s}\int_0^{\infty}e^{-st} \cos(\omega t)dt=\frac{\omega}{s}\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}</math>
Integrem per parts la segona integral:
<math>u=\cos(\omega t) \rightarrow du=-\omega \sin(\omega t)dt ; dv=e^{-st}dt \rightarrow v=\frac{-1}{s}e^{-st}</math>
<math>\int_0^{\infty}e^{-st}\cos(\omega t)dt=\bigg[\frac{-\cos(\omega t)e^{-st} }{s} \bigg]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}\frac{e^{-st} \omega \sin(\omega t)}{s}dt=[0+\frac{1}{s}]-\frac{\omega}{s}\int_0^{\infty}e^{-st} \sin(\omega t)dt=\frac{1}{s}-\frac{\omega}{s}\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}</math>
Substituint en aquesta última equació el primer resultat:
<math>
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}=
\frac{1}{s}-\frac{\omega^2}{s^2}\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}\Longrightarrow
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}\bigg(1+\frac{\omega^2}{s^2} \bigg)=\frac{1}{s}\Longrightarrow
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} \bigg(\frac{s^2+\omega^2}{s^2} \bigg)=\frac{1}{s} \Longrightarrow
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}=\frac{s}{s^2+\omega^2}
</math>
Finalment:
<math>\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}=\frac{\omega}{s}\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}=\frac{\omega}{s}\frac{s}{s^2+\omega^2}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}</math>
</div>
}}
=== Sinus hiperbòlic ===
: <math>\mathcal{L}\{\,\sinh(bt)\} = \frac {b}{s^2 - b^2}</math>
=== Cosinus hiperbòlic ===
: <math>\mathcal{L}\{\,\cosh(bt)\} = \frac {s}{s^2 - b^2}</math>
=== Logaritme natural ===
: <math>\mathcal{L}\{\,\ln(t)\} = - \frac{\ln(s)+\gamma}{s}</math>
=== Arrel ''n''-èsima ===
: <math>\mathcal{L}\{\,\sqrt[n]{t}\} = s^{-\frac{n+1}{n}} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)</math>
=== [[Funció de Bessel]] de primera espècie ===
: <math>\mathcal{L}\{\,J_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{1+s^2}\right)^{n}}{\sqrt{1+s^2}}</math>
=== Funció modificada de Bessel de primera espècie ===
: <math>\mathcal{L}\{\,I_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{-1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{-1+s^2}}</math>
=== [[Funció error]] ===
: <math>\mathcal{L}\{\,\operatorname{erf}(t)\} = {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}</math>
=== [[Convolució]] ===
: <math>\mathcal{L}\{f*g\}
= \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}</math>
== Altres transformades de Laplace ==
{| class="wikitable" border="1"
|-----
!
! Transformada de Laplace
!
! Funció en el temps
|-----
|gordo
|<math>1</math>
|99%
|<math>\delta(t)</math> ([[delta de Dirac]])
|-----
|-
|prim
|<math>\frac{1}{s}</math>
|1%
|<math>u(t)</math> ([[funció esglaó]])
|-----
|-
|
|<math>\frac{1}{(s+a)^n}</math>
|
|<math>\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}</math>
|-----
|-
|
|<math>\frac{1}{s(s+a)}</math>
|
|<math>\frac{1}{a}(1-e^{-at})</math>
|-----
|-
|
|<math>\frac{1}{(s+a)(s+b)}</math>
|
|<math>\frac{1}{b-a}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)</math>
|-----
|-
|
|<math>\frac{s+c}{(s+a)^2+b^2}</math>
|
|<math>e^{-at}\left(\cos{(bt)}+\left(\frac{c-a}{b}\right)\mbox{sin}{(bt)}\right)</math>
|-----
|-
== Vegeu també ==
<references />
* [[Transformada de Mellin]]
* [[Transformada de Fourier]]
[[Categoria:Càlcul]]
[[Categoria:Anàlisi funcional]]
<references />{{Autoritat}}
| 