Feix (matemàtiques)

En matemàtiques, un feix és una eina per l'estudi sistemàtic d'unes certes dades (com poden ser conjunts, grups abelians, anells) lligats a conjunts oberts i definits localment respecte ells. Per e xemple, per un conjunt obert, les dades poden ser l'anell de les funcions contínues definides en el conjunt obert. Aquestes dades es comporten bé en el sentit que es poden restringir a conjunts oberts més petits, i també en el fet que les dades assignades a un conjunt obert són equivalents a totes les col·leccions de dades compatibles assignades a col·leccions de conjunts oberts més petits que cobreixin el conjunt obert original.

Els feixos s'entenen conecptualment com objectes generals i abstractes. La seva definició formal és més aviat tècnica. Es defineixen específicament com a feixos de [[conjunt (matemàtiques)|conjunts o feixos d'anells, per exemple, en funció del tipus de dades que assignin a conjunts oberts.

També hi ha funcions (o morfismes) d'un feix a un altre; els feixos (d'un tipus específic, per exemple els feixos de grups abelians) amb els seus morfismes en un espai topològic fixe formen una categoria. D'altra banda, per a cada funció contínua hi ha associat tant un functor d'imatge directa, que pren feixos i els seus morfismes del domini a feixos i els seus morfismes al codomini, i un functor d'imatge inversa que opera en la direcció inversa. Aquests functors, i certes variants seves, són parts essencials de la teoria de feixos.

Atesa la seva naturalesa i versatilitat generals, els feixos tenen diverses aplicacions en topologia i especialment en geometria algebraica i diferencial. En primer lloc, es poden expressar les estructures geomètriques com ara les varietats diferenciables o un esquema en termes d'un feix d'anells a l'espai. En aquestes contextos, s'especifiquen diverses construccions geomètriques, com ara fibrats vectorials o divisors, en termes de feixos. En segon lloc, els feixos proporcionen el marc per una teoria cohomològica molt general, que engloba també les teories cohomològiques topològiques "habituals" com ara la cohomologia singular. Especialment en geometria algebraica i en la teoria de varietats complexes, la cohomologia de feixos proporciona un vincle potent entre propietats topològiques i geomètriqueus dels espais. Els feixos també proporcionen una base per a la teoria de D-mòduls, que tenen aplicacions en la teoria d'equacions diferencials. A més, les generalitzacions dels feixos a contextos més generals que espais topològics, com ara en topologies de Grothendieck, han tingut aplicacions en lògica matemàtica i en teoria de nombres.