Funció fitada

En matemàtiques, una funció $f$ definida en algun conjunt $X$ amb valors reals o complexos s'anomena fitada, si el conjunt dels seus valors és fitat. En altres paraules, hi ha un nombre real $M<\infty$; tal que

Una il·lustració esquemàtica d'una funció fitada (vermell) i una no fitada (blau). Intuïtivament, el gràfic d'una funció fitada es queda dins d'una banda horitzontal, mentre que el gràfic d'una funció no fitada no ho fa.

$|f(x)|\leq M,\forall x\in X$

A vegades, si $f(x)\leq A$ per tot $x$ de $X$, llavors la funció es diu que és fitada per damunt i $A$ es diu que és una fita superior. D'altra banda, si $f(x)\geq B$ per tot $A$ de $X$, llavors la funció es diu que és fitada per davall i $B$ es diu que és una fita inferior.

El concepte no s'hauria de confondre amb el d'operador fitat.

Un cas especial important és un successió fitada, on $X$ és el conjunt $\mathbb {N}$ de nombres naturals. Així una successió $f=(a_{0},a_{1},a_{2},\dots )$, és fitada si existeix un nombre real $M<\infty$ tal que

$|a_{n}|\leq M,\forall n\in \mathbb {N}$

El conjunt de totes les successions fitades, proveïdes amb una estructura d'espai vectorial, formen un espai de successions.

Aquesta definició es pot estendre a funcions amb valors en un espai mètric $Y$. Una funció $f$ amb valors en un espai mètric $X$ s'anomena fitada si per a alguns $a$ de $Y$ existeix un nombre real $M<\infty$; tal que

$d(f(x),a)\leq M,\forall x\in X$

Si aquest és el cas, hi ha també un $M$ per a qualsevol altre $a$.

Exemples

• La funció $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ definida per $f(x)=\sin(x)$ és fitada. La funció sinus no és fitada si es defineix sobre del conjunt de tots els nombres complexos

• La funció

$f(x)={\frac {1}{x^{2}-1}}$

definida per a tot real $x$ diferent de −1 o 1 no és fitada. A mesura que $x$ s'apropa a −1 o a 1, els valors d'aquesta funció es fan més i més grans en magnitud. Aquesta funció es pot fer fitada si es considera que el seu domini és, per exemple, [2, ∞)...

• La funció

$f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}$

definida per a tot real $x$ és fitada.

• Cada funció contínua $f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R}$ és fitada. Això és en realitat un cas especial d'un fet més general: Tota funció contínua d'un espai compacte en un espai mètric és fitada.

• La funció $f$ que pren el valor 0 per $x$ racional i 1 per $x$ irracional és fitada. Així, una funció no cal que sigui "bonica" per ser fitada. El conjunt de totes les funcions fitades definides a [0,1] és molt més gran que el conjunt de les funcions contínues en aquest interval.