Fórmula de Cauchy per a la integració repetida

La fórmula de Cauchy per a la integració repetida, que porta el nom d'Augustin Louis Cauchy, permet comprimir n primitives d'una funció en una única integral. Es generalitza notablement en l'anàlisi fraccionari.

Cas escalar

Sigui f una funció contínua sobre la recta real. Aleshores l'enèsima integral repetida de f amb el punt base a,

$$f^{(-n)}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1},$$

ve donada per integració única

$$f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.$$

Prova

La demostració es dóna per inducció. Com que f és contínua, el cas base es desprèn del teorema fonamental del càlcul:

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f^{(-1)}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{0}}{0!}}f(t)\,\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t=f(x);$$

on

$$f^{(-1)}(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=0.$$

Ara, suposem que això és cert per a n, i ho demostrem per a n+1. En primer lloc, utilitzant la regla integral de Leibniz, tingueu en compte que

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.$$

Aleshores, aplicant la hipòtesi d'inducció,

$${\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}$$

Això completa la prova.

Generalitzacions i aplicacions

La fórmula de Cauchy es generalitza a paràmetres no-enters per la integral de Riemann-Liouville, on $n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$ es substitueix per $\alpha \in \mathbb {C} ,\ \Re (\alpha )>0$, i el factorial es substitueix per la funció gamma. Les dues fórmules coincideixen quan $\alpha \in \mathbb {Z} _{\geq 0}$.

Tant la fórmula de Cauchy com la integral de Riemann-Liouville es generalitzen a una dimensió arbitrària pel potencial de Riesz.

En el càlcul fraccional, aquestes fórmules es poden utilitzar per construir una diferintegral, que permet diferenciar o integrar un nombre fraccionari de vegades. La diferenciació d'un nombre fraccionari de vegades es pot aconseguir mitjançant la integració fraccionària i després diferenciant el resultat.

Amb uns quants passos de transformació és possible trobar una fórmula per a la $\alpha$-èsima derivada.

També es poden trobar aplicacions en l'electroquímica, reologia i en la física (problema de la tautòcrona).

Referències

• Beardon, Alan. «Fractional calculus II» (en anglès). Universitat de Cambridge, 2000.
• Cauchy, Augustin Louis. «Trente-Cinquième Leçon». A: Résumé des leçons données à l’Ecole royale polytechnique sur le calcul infinitésimal (en francès). París: Imprimerie Royale, 1823. 
• Folland, Gerald B. Advanced Calculus (en anglès). Prentice Hall, 2002, p. 193.