Fibrat de marc

En matemàtiques, un fibrat de marc és un feix de fibres principal F(E) associat a qualsevol feix de vectors E. La fibra de F(E) sobre un punt x és el conjunt de totes les bases ordenades, o marcs, per a E_x. El grup lineal general actua de manera natural sobre F(E) mitjançant un canvi de base, donant al paquet de trama l'estructura d'un paquet GL(k, R) principal (on k és el rang de E).

El paquet de marcs ${\mathcal {F}}(E)$ de la franja de Möbius $E$ és un principal no trivial $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ -ajuntar sobre el cercle.

El feix de trama d'una varietat llisa és l'associat al seu feix tangent. Per aquest motiu de vegades s'anomena fibrat de marc tangent.Sigui E → X un paquet vectorial real de rang k sobre un espai topològic X. Un marc en un punt x ∈ X és una base ordenada per a l'espai vectorial E_x. De manera equivalent, un marc es pot veure com un isomorfisme lineal

$p:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.$

El conjunt de tots els fotogrames en x, denotat F_x, té una acció natural correcta pel grup lineal general GL(k, R) de matrius k × k invertibles: un element de grup g ∈ GL(k, R) actua sobre el marc. p mitjançant la composició per donar un nou marc

$p\circ g:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.$

Aquesta acció de GL(k, R) sobre F_x és lliure i transitiva (això es desprèn del resultat d'àlgebra lineal estàndard que hi ha una transformació lineal invertible única que envia una base a una altra). Com a espai topològic, F_x és homeomòrfic a GL(k, R) encara que no té una estructura de grup, ja que no hi ha cap "marc preferit". Es diu que l'espai F_x és un torsor GL(k, R).

El fibrat de marcs de E, denotat per F(E) o F_GL(E), és la unió disjunta de tots els F_x :

$\mathrm {F} (E)=\coprod _{x\in X}F_{x}.$

Cada punt de F(E) és un parell (x, p) on x és un punt de X i p és un marc en x . Hi ha una projecció natural π : F(E) → X que envia (x, p) a x. El grup GL(k, R) actua sobre F(E) a la dreta com a dalt. Aquesta acció és clarament lliure i les òrbites són només les fibres de π.

El paquet de trames F(E) pot rebre una topologia natural i una estructura de paquets determinada per la de E. Sigui (U_i, φ_i) una banalització local d'E. Aleshores, per a cada x ∈ U _i es té un isomorfisme lineal φ _{i, x} : E _x → R ^k. Aquestes dades determinen una bijecció

$\psi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathrm {GL} (k,\mathbf {R} )$

donada per

$\psi _{i}(x,p)=(x,\varphi _{i,x}\circ p).$

Amb aquestes bijeccions, a cada π ⁻¹ (U _i) es pot donar la topologia de U _i × GL(k, R). La topologia de F(E) és la topologia final coinduïda pels mapes d'inclusió π ⁻¹ (U _i) → F(E).