Obre el menú principal

En matemàtiques, el grup lineal general de mida n sobre un cos K o un anell A és el conjunt de les matrius invertibles quadrades de mida n×n amb coeficients a K o A amb l'operació de composició o multiplicació de matrius usual. És un grup que es denota GL(n,A) o GLn(A).

La composició o multiplicació de dues matrius A i B és:

on indica les coordenades de A a la casella i,j.

El grup lineal és grup en tant que:

Relació amb altres estructures algebraiquesModifica

L'existència d'isomorfismes entre el grup lineal general i altres estructures algebraiques, així com l'existència de subgrups, ens permet analitzar i resoldre analíticament, fent servir nombres, gran quantitat de problemes, així com entendre millor aquestes estructures.

Espais vectorialsModifica

El conjunts dels automorfismes d'un espai vectorial V de dimensió finita n sobre un cos K és isomorf al GL(n,K), i que molt sovint es denota directament GL(V). Aquest isomorfisme no és natural perquè cal escollir una base que ens permet associar a cada automorfisme una matriu invertible.

SubgrupsModifica

Grup lineal especialModifica

El grup especial lineal d'ordre n, que denotem SL(n,A), és el conjunt de les matrius amb determinant 1 amb la composició. SL(n,A) és un subgrup normal de GL(n,A).

Subgrup diagonalModifica

El conjunt de les matrius diagonals de rang n és un subgrup de GL(n,A). Pot subdividir-se en més subgrups com ara les matrius escalars (múltiples per un escalar de la matriu identitat.

Grups clàssicsModifica

Els anomenats grups clàssics són subgrups de GL(n,A) que es caracteritzen per poder representar algun tipus d'aplicació que conserva una forma bilineal o hermítica com ara els productes escalars o unitaris: