Fractals per dimensió de Hausdorff

Aquí es mostra un llistat de fractals ordenats de forma creixent segons la seva dimensió de Hausdorff (δ).

Fractals deterministes modifica

δ (valor exacte)	δ (valor)	Nom	Observacions
$\textstyle {{\frac {\log(2)}{\log(\delta )}}?}$	0,4498?	Bifurcació de la corba logística	El atractor de Feigenbaum (entre les fletxes) és el conjunt de punts generat per successives iteracions de la funció logística per al valor del paràmetre crític $\scriptstyle {\lambda _{\infty }=3.570}$ , on el període de duplicament és infinit. Aquesta dimensió és la mateixa per a qualsevol funció diferenciable i unimodal.^[1]
$\textstyle {\frac {\log(2)}{\log(3)}}$	0,6309	Conjunt de Cantor	Es construeix eliminant l'interval central en cada iteració. És un conjunt dens enlloc i no numerable.
$\textstyle {1}$	1	Conjunt de Smith-Volterra-Cantor	Es construeix eliminant l'interval central de longitud $1/2^{2n}$ de cadascun del intervals en cada iteració. És dens enlloc i amb mesura de Lebesgue de ½.
Calculat	1.0812	Conjunt de Julia z² + 1/4	Conjunt de Julia per a c = 1/4.
$2\log _{7}(3)$	1.12915	Contorn de l'illa de Gosper
Calculat (compte de caixes)	1.2	Conjunt de Julia Dendrita	Conjunt de Julia per als paràmetres: Real = 0 i Imaginari = 1.
$\textstyle {3{\frac {\log(\phi )}{\log({\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}})}}}$	1,2083	Fractal de Fibonacci (60°)	Construcció a partir de la paraula de Fibonacci.
$\textstyle {\frac {\log(4)}{\log(3)}}$	1.2619	Corba de Koch	Tres corbes de Koch formen el floc de neu de Koch (o el antifloc de neu de Koch).
$\log _{3}(4)$	1.2619	3-Antifloc de neu de Koch	Antifloc de neu de Koch format per 3 corbes de Koch.
$\textstyle {\frac {\log(4)}{\log(3)}}$	1.2619	frontera de la corba del terdrac	Sistema L: anàloga a la corba del drac amb angle de 30°.
$\textstyle {\frac {\log(4)}{\log(3)}}$	1.2619	Pols de Cantor bidimensional	Pols de Cantor en 2D.^[2]
Calculat	1.2683	Conjunt de Julia z²-1	Conjunt de Julia per a c = -1.^[3]
	1,3057	Circumferència d'Apol·loni	vegeu ^[4]
Calculadt	1.3934	Conill de Douady	Conjunt de Julia per a c = -0,123 + 0,745i.^[5]
$\textstyle {\frac {\log(5)}{\log(3)}}$	1.4649	Fractal de Vicsek	Es construeix per substitució iterativa d'un quadrat per una creu formada per cinc quadrats.^[6]^[7]
$\textstyle {\frac {\log(5)}{\log(3)}}$	1,4649	Corba quadràtica de Koch (tipus 1)	Es pot reconèixer en aquest fractal el fractal de Vicsek.^[8]
$\textstyle {{\frac {\log(8)}{\log(4)}}={\frac {3}{2}}}$	1,5000	Corba quadràtica de Koch (tipus 2)	També coneguda com "salsitxa de Minkowski".^[8]
$\textstyle {\frac {\log \left({\frac {1+{\sqrt[{3}]{73-6{\sqrt {87}}}}+{\sqrt[{3}]{73+6{\sqrt {87}}}}}{3}}\right)}{\log(2)}}$	1.5236	Frontera de la corba del drac	Cf Chang & Zhang.^[9]^[10]
$\textstyle {\frac {\log(3)}{\log(2)}}$	1.585	Arbre de tres branques	Cada branca es divideix en altres tres (en les representacions, amb angles de 90°, 60° i 120°). La dimensió fractal de l'arbre és la dimensió fractal de les ramas terminals.
$\textstyle {\frac {\log(3)}{\log(2)}}$	1.585	Triangle de Sierpinski	Pot ser generat per un sistema de Lindenmayer.^[11]També, el triangle de Pascal mòdul 2.
$\textstyle {\frac {\log(3)}{\log(2)}}$	1.585	Corba de punta de fletxa de Sierpiński	Amb el mateix límit que el triangle de dalt però, construït a partir d'una corba unidimensional.
$\textstyle {1+{\frac {\log 2}{\log 3}}}$	1.6309	Triangle de Pascal mòdul 3	Per a un triangle mòdul k, si k és primer, la dimensió fractal és $\scriptstyle {1+\log _{k}({\frac {k+1}{2}})}$ (Cf Stephen Wolfram).^[12]
$\textstyle {3{\frac {\log(\phi )}{\log(1+{\sqrt {2}})}}}$	1.6379	Fractal de Fibonacci	Fractal basat en la paraula de Fibonacci (o successió dels conills) Sloane A005614. Representació: Fractal després de 23 iteracions (F23=28657 segments).^[13]
$\textstyle {1+{\frac {\log 3}{\log 5}}}$	1,6826	Triangle de Pascal mòdulo 5	Per a un triangle mòdul k, si k és primer, la dimensió fractal és $\scriptstyle {1+\log _{k}({\frac {k+1}{2}})}$ (Cf Stephen Wolfram).^[12]
$\textstyle {\frac {\log(7)}{\log(3)}}$	1,7712	Hexafloc	En cada iteració es canvia cada hexàgon per un floc de 7 hexàgons. La seva frontera és el floc de neu de von Koch i conté infinits flocs de neu de Koch (blancs i negres).
$\textstyle {\frac {\log(7)}{\log(3)}}$	1.7712	Fractal H-I de Rivera	Fractal amb autosemblança exacta.
$\textstyle {\frac {\log(4)}{\log(2(1+\cos(85^{\circ })))}}$	1.7848	Corba de von Koch a 85°, fractal de Cesàro	Generalització de la corba de von Koch amb angle a entre 0 i 90°. La dimensió fractal és $\scriptstyle {\frac {\log(4)}{\log(2(1+\cos(a)))}}$ .^[8]
$\textstyle {\frac {\log(6)}{\log(1+\phi )}}$	1.8617	Pentafloc	En cada iteració es canvia cada pentàgon per un floc de 6 pentàgons. $\phi$ = raó àuria = $\scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ .
$\textstyle {\frac {\log(8)}{\log(3)}}$	1.8928	Catifa de Sierpinski	Cada una de les cares de l'esponja de Menger és una catifa de Sierpinski, com també ho és la superfície inferior de la superfície de Koch quadràtica tridimensional (tipus 1). Es pot construir per substitució de cadenes (string rewriting) i com l'atractor d'un sistema de funcions iterades.^[14]^[15]
$\textstyle {\frac {\log(8)}{\log(3)}}$	1.8928	Pols de Cantor tridimensional	Conjunt de Cantor en tres dimensions.
Estimat	1.9340	Frontera de la corba de Lévy	Estimat per Duvall i Keesling (1999). La pròpia corba té una dimensió fractal de 2.
	1,974	Tessel·lació de Penrose	Vegeu Ramachandrarao, Sinha & Sanyal.^[16]
$\textstyle {2}$	2	Frontera del conjunt de Mandelbrot	La frontera i el propi conjunt tenen la mateixa dimensió.^[17]
$\textstyle {2}$	2	Conjunt de Julia	Per a determinats valors de c (inclòs c pertanyent a la frontera del conjunt de Mandelbrot), el conjunt de Julia té una dimensió de 2.^[18]
$\textstyle {2}$	2	Corba de Sierpiński	Tota corba de Peano que omple el pla té una dimensió de Hausdorff de 2.
$\textstyle {2}$	2	Corba de Hilbert
$\textstyle {2}$	2	Corba de Peano	Així com tota una família de corbes construïdes de forma similar, com les corbes de Wunderlich.
$\textstyle {2}$	2	Corba de Moore	Es pot estendre a 3 dimensions.
	2	Corba de Lebesgue o d'ordre z	A diferència de les anteriors, aquesta corba que omple el pla és diferenciable gairebé per tot. També, es pot definir altre tipus en dos dimensions. De la mateixa manera que la corba de Hilbert, es pot estendre a tres dimensions.^[19]
$\textstyle {{\frac {\log(2)}{\log({\sqrt {2}})}}=2}$	2	Corba del drac	La seva frontera té una dimensió fractal de 1.5236270862.^[20]
	2	Corba del terdrac	L-sistema: F→F+F–F, angle=120°.
$\textstyle {{\frac {\log(4)}{\log(2)}}=2}$	2	T-quadrat
$\textstyle {{\frac {\log(4)}{\log(2)}}=2}$	2	Corba de Gosper	La seva frontera és l'illa de Gosper.
$\textstyle {{\frac {\log(4)}{\log(2)}}=2}$	2	Tetraedre de Sierpinski	Cada tetraedre es substitueix per quatre tetraedres.
$\textstyle {{\frac {\log(4)}{\log(2)}}=2}$	2	Fractal H	També, l'«arbre de Mandelbrot», que mostra un patró semblant.
$\textstyle {{\frac {\log(2)}{\log(2/{\sqrt {2}})}}=2}$	2	Arbre de Pitàgores	Cada quadrat genera dos quadrats amb un factor de contracció de ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ .^[21]
$\textstyle {{\frac {\log(4)}{\log(2)}}=2}$	2	Creu grega fractal en 2D	Cada segment es reemplaça per una creu formada per 4 segments.
	2.06	Atractor de Lorenz	Per a determinats valors dels paràmetres.
$\textstyle {\frac {\log(20)}{\log(2+\phi )}}$	2.3296	Dodecaedro fractal	Cada dodecaedre es substitueix per 20 dodecaedres més petits.
$\textstyle {\frac {\log(13)}{\log(3)}}$	2.3347	Superfície quadràtica tridimensional de Koch (tipus 1)	Extensió tridimensional de la corba quadràtica de Koch (tipus 1). La representació mostra la segona iteració.
	2.4739	Intersticis entre les esferes d'Apol·loni	Intersticis entre les esferes d'Apol·loni, equivalent tridimensional del cercle d'Apol·loni. Dimensió calculada per M. Borkovec, W. De Paris i R. Peikert.^[22]
$\textstyle {{\frac {\log(32)}{\log(4)}}={\frac {5}{2}}}$	2.50	Superfície quadràtica tridimensional de Koch (tipus 2)	Extensió tridimensional de la corba quàdrática de Koch (tipus 2). La representació mostra la segona iteració.
$\textstyle {\frac {\log(12)}{\log(1+\phi )}}$	2.5819	Icosàedre fractal	Cada icosàedre es substitueix per 12 icosàedres més petits.
$\textstyle {\frac {\log(6)}{\log(2)}}$	2.5849	Creu grega fractal en 3D	Cada segment es substitueix per una creu tridimensional formada per 6 segments.
$\textstyle {\frac {\log(6)}{\log(2)}}$	2.5849	Octàedre fractal	Cada octàedre es substitueix per 6 octàedres més petits.
$\textstyle {\frac {\log(6)}{\log(2)}}$	2.5849	Superfície de Koch	Cada triangle equilàter es substitueix per sis triangles equilàters de la meitat de mida.
$\textstyle {\frac {\log(20)}{\log(3)}}$	2,7268	Esponja de Menger	La seva superfície té una dimensió fractal de $\scriptstyle {{\frac {\log(12)}{\log(3)}}=2.2618}$ .
$\textstyle {{\frac {\log(8)}{\log(2)}}=3}$	3	Corba de Hilbert en 3D	Extensió de la corba de Hilbert a 3 dimensions.
$\textstyle {{\frac {\log(8)}{\log(2)}}=3}$	3	Corba de Lebesgue en 3D	Extensió de la corba de Lebesgue a 3 dimensions.
$\textstyle {{\frac {\log(8)}{\log(2)}}=3}$	3	Corba de Moore en 3D	Extensió de la corba de Moore a 3 dimensions.