En matemàtiques , en la teoria q-anàleg , la funció q-gamma , o funció gamma bàsica , és una generalització de la funció gamma ordinària, i està molt estretament relacionada amb la funció gamma doble . Aquesta va ser introduïda per Jackson (1905) ,
Es defineix com
Γ
q
(
x
)
=
(
1
−
q
)
1
−
x
∏
n
=
0
∞
1
−
q
n
+
1
1
−
q
n
+
x
=
(
1
−
q
)
1
−
x
(
q
;
q
)
∞
(
q
x
;
q
)
∞
{\displaystyle \Gamma _{q}(x)=(1-q)^{1-x}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-q^{n+1}}{1-q^{n+x}}}=(1-q)^{1-x}\,{\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}}
quan
|
q
|
<
1
{\displaystyle |q|<1}
, i
Γ
q
(
x
)
=
(
q
−
1
;
q
−
1
)
∞
(
q
−
x
;
q
−
1
)
∞
(
q
−
1
)
1
−
x
q
(
x
2
)
{\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(q^{-1};q^{-1})_{\infty }}{(q^{-x};q^{-1})_{\infty }}}(q-1)^{1-x}q^{\binom {x}{2}}}
si
|
q
|
>
1
{\displaystyle |q|>1}
. Aquest (·;·)∞ és el símbol q-Pochhammer infinit . Satisfà l'equació funcional
Γ
q
(
x
+
1
)
=
1
−
q
x
1
−
q
Γ
q
(
x
)
=
[
x
]
q
Γ
q
(
x
)
{\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)={\frac {1-q^{x}}{1-q}}\Gamma _{q}(x)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}
Per a enters no negatius n,
Γ
q
(
n
)
=
[
n
−
1
]
q
!
{\displaystyle \Gamma _{q}(n)=[n-1]_{q}!}
on [·]q ! és la funció q-factorial . Alternativament, això pot ser pres com una extensió de la funció q-factorial per al sistema de nombres reals.
La relació amb la funció gamma ordinària es fa explícita en el límit
lim
q
→
1
±
Γ
q
(
x
)
=
Γ
(
x
)
.
{\displaystyle \lim _{q\to 1\pm }\Gamma _{q}(x)=\Gamma (x).}
Són coneguts els següents valors especials:
Γ
e
−
π
(
1
2
)
=
e
−
7
π
/
16
e
π
−
1
2
11
/
12
π
3
/
4
2
−
1
3
4
+
3
2
24
Γ
(
1
4
)
,
{\displaystyle \Gamma _{e^{-\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /16}{\sqrt {e^{\pi }-1}}}{2^{11/12}\pi ^{3/4}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}-1}}{\sqrt[{24}]{4+3{\sqrt {2}}}}}}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),}
Γ
e
−
2
π
(
1
2
)
=
e
−
7
π
/
8
e
2
π
−
1
2
2
8
π
3
/
4
Γ
(
1
4
)
,
{\displaystyle \Gamma _{e^{-2\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /8}{\sqrt {e^{2\pi }-1}}}{2{\sqrt[{8}]{2}}\pi ^{3/4}}}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),}
Γ
e
−
4
π
(
1
2
)
=
e
−
7
π
/
4
e
4
π
−
1
2
7
/
4
π
3
/
4
Γ
(
1
4
)
,
{\displaystyle \Gamma _{e^{-4\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /4}{\sqrt {e^{4\pi }-1}}}{2^{7/4}\pi ^{3/4}}}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),}
Γ
e
−
8
π
(
1
2
)
=
e
−
7
π
/
2
(
2
−
1
)
(
e
8
π
−
1
)
4
2
4
π
3
/
4
Γ
(
1
4
)
.
{\displaystyle \Gamma _{e^{-8\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /2}{\sqrt {\left({\sqrt {2}}-1\right)\left(e^{8\pi }-1\right)}}}{4{\sqrt[{4}]{2}}\pi ^{3/4}}}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right).}
Aquests són els anàlegs de la fórmula clàssica
Γ
(
1
2
)
=
π
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}
.
D'altra banda, els següents anàlegs de la identitat familiaritzada
Γ
(
1
4
)
Γ
(
3
4
)
=
2
π
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)={\sqrt {2}}\pi }
són certs:
Γ
e
−
2
π
(
1
4
)
Γ
e
−
2
π
(
3
4
)
=
e
−
29
π
/
16
(
e
2
π
−
1
)
Γ
(
1
4
)
2
4
π
3
/
2
2
−
1
3
8
+
6
2
24
,
{\displaystyle \Gamma _{e^{-2\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{e^{-2\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {e^{-29\pi /16}\left(e^{2\pi }-1\right)\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{4\pi ^{3/2}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}-1}}{\sqrt[{24}]{8+6{\sqrt {2}}}}}},}
Γ
e
−
4
π
(
1
4
)
Γ
e
−
4
π
(
3
4
)
=
e
−
29
π
/
8
(
e
4
π
−
1
)
Γ
(
1
4
)
2
2
23
/
8
π
3
/
2
,
{\displaystyle \Gamma _{e^{-4\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{e^{-4\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {e^{-29\pi /8}\left(e^{4\pi }-1\right)\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{2^{23/8}\pi ^{3/2}}},}
Γ
e
−
8
π
(
1
4
)
Γ
e
−
8
π
(
3
4
)
=
2
−
1
e
−
29
π
/
4
(
e
8
π
−
1
)
Γ
(
1
4
)
2
16
π
3
/
2
.
{\displaystyle \Gamma _{e^{-8\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{e^{-8\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}e^{-29\pi /4}\left(e^{8\pi }-1\right)\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{16\pi ^{3/2}}}.}
Un q-anàleg de la fórmula de Stirling per a
|
q
|
<
1
{\displaystyle |q|<1}
està donada per
Γ
q
(
x
)
=
[
2
]
q
1
2
Γ
q
2
(
1
2
)
(
1
−
q
)
1
2
−
x
e
θ
q
x
1
−
q
−
q
x
,
0
<
θ
<
1.
{\displaystyle \Gamma _{q}(x)=[2]_{q^{\ }}^{\frac {1}{2}}\Gamma _{q^{2}}\left({\frac {1}{2}}\right)(1-q)^{{\frac {1}{2}}-x}e^{\frac {\theta q^{x}}{1-q-q^{x}}},\quad 0<\theta <1.}
Un q-anàleg de la fórmula de multiplicació per a
|
q
|
<
1
{\displaystyle |q|<1}
està donada per
Γ
q
n
(
x
n
)
Γ
q
n
(
x
+
1
n
)
⋯
Γ
q
n
(
x
+
n
−
1
n
)
=
[
n
]
q
1
2
−
x
(
[
2
]
q
Γ
q
2
2
(
1
2
)
)
n
−
1
2
Γ
q
(
x
)
.
{\displaystyle \Gamma _{q^{n}}\left({\frac {x}{n}}\right)\Gamma _{q^{n}}\left({\frac {x+1}{n}}\right)\cdots \Gamma _{q^{n}}\left({\frac {x+n-1}{n}}\right)=[n]_{q}^{{\frac {1}{2}}-x}\left([2]_{q}\Gamma _{q^{2}}^{2}\left({\frac {1}{2}}\right)\right)^{\frac {n-1}{2}}\Gamma _{q}(x).}
Jackson , F. H. «The Basic Gamma-Function and the Elliptic Functions». Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character . The Royal Society, 76, 508, 1905, p. 127–144. DOI : 10.1098/rspa.1905.0011 . ISSN : 0950-1207 .
Gasper , George; Rahman , Mizan. Basic hypergeometric series . 96. 2a edició. Cambridge University Press , 2004. ISBN 978-0-521-83357-8 .
Mansour , M «An asymptotic expansion of the q-gamma function Γq(x)». Journal of Nonlinear Mathematical Physics , 13, 2006, p. 479–483. DOI : 10.2991/jnmp.2006.13.4.2 .[1]
Mező , István «A q-Raabe formula and an integral of the fourth Jacobi theta function». Journal of Number Theory , 133, 2, 2012, p. 692–704. DOI : 10.1016/j.jnt.2012.08.025 .