Funció q-gamma

En matemàtiques, en la teoria q-anàleg, la funció q-gamma, o funció gamma bàsica, és una generalització de la funció gamma ordinària, i està molt estretament relacionada amb la funció gamma doble. Aquesta va ser introduïda per Jackson (1905),

Es defineix com

quan , i

si . Aquest (·;·) és el símbol q-Pochhammer infinit. Satisfà l'equació funcional

Per a enters no negatius n,

on [·]q ! és la funció q-factorial. Alternativament, això pot ser pres com una extensió de la funció q-factorial per al sistema de nombres reals.

La relació amb la funció gamma ordinària es fa explícita en el límit

Fórmules tipus RaabeModifica

A causa de I. Mező, existeix el q-anàleg de la fórmula Raabe, almenys si s'utilitza la funció de q-gamma quan  . Amb aquesta restricció

 

El Bachraoui considera el cas   i ha demostrat que

 

Valors especialsModifica

Són coneguts els següents valors especials:

 
 
 
 

Aquests són els anàlegs de la fórmula clàssica  .

D'altra banda, els següents anàlegs de la identitat familiaritzada   són certs:

 
 
 

Un q-anàleg de la fórmula de Stirling per a   està donada per

 

Un q-anàleg de la fórmula de multiplicació per a   està donada per

 

ReferènciesModifica