Símbol q-Pochhammer

matemàtiques

En matemàtiques, en l'àrea de combinatòria, un símbol q-Pochhammer, és un q-anàleg del símbol de Pochhammer. Es defineix com

amb

per definició. El símbol -Pochhammer és un important bloc de construcció en la construcció de -anàlegs; per exemple, en la teoria de les sèries hipergeomètriques bàsiques, juga el paper que juga el símbol ordinari de Pochhammer en la teoria de les sèries hipergeomètriques generalitzades.

A diferència del símbol ordinari de Pochhammer, el símbol -Pochhammer es pot estendre a un producte infinit:

Aquesta és una funció analítica de a l'interior del disc unitat, i també es pot considerar com una sèrie de potències formals en . El cas especial

es coneix com la funció d'Euler, i és important en combinatòria, teoria de nombres i la teoria de formes modulars.

Identitats modifica

El producte finit es pot expressar en termes del producte infinit:

 

que amplia la definició als   enters negatius. Per tant, per a un   no-negatiu, s'obté

 

i

 

El símbol  -Pochhammer és objecte d'un nombre d'una sèrie d'identitats de la  -sèrie, en particular les expansions de la sèrie infinita

 

i

 ,

que són els dos casos especials del teorema del q-binomi:

 

Fridrikh Karpelevich va trobar la següent identitat (vegeu Olshanetsky i Rogov (1995) per a la demostració):

 

Interpretació combinatòria modifica

El símbol  -Pochhammer està molt relacionat amb la combinatòria enumerativa de les particions. El coeficient de   en

 

és la quantitat de particions de   en la majoria de   parts.

Atès que, per conjugació de particions, això és el mateix que el nombre de particions de   en parts de mida   com a màxim, mitjançant la identificació de sèries generadores obtenim la identitat:

 

com a la secció anterior.

També tenim que el coeficient de  en

 

és el nombre de particions de   en   o  parts diferents.

En treure una partició triangular amb  parts d'aquesta partició, ens queda una partició arbitrària amb, com a molt,   parts. Això proporciona una bijecció equilibrada entre el conjunt de particions en   o  parts diferents i el conjunt de parells que consisteixen en una partició triangular que té  parts i una partició amb, com a màxim,   parts. Identificant les sèries generadores, això condueix a la identitat:

 

també descrit a la secció anterior.

El recíproc de la funció   de manera similar es presenta com la funció generadora de la funció de partició,  , que també s'amplia per les segones dues expansions de la  -sèrie que es detallen a continuació:[1]

 

El teorema del q-binomi també pot ser manejat per un argument combinatori lleugerament més involucrat d'un sabor similar (veure les expansions que es donen en la següent subsecció).

Convenció d'arguments múltiples modifica

Atès que les identitats que impliquen símbols  -Pochhammer impliquen amb freqüència productes de molts símbols, la convenció estàndard és escriure un producte com un únic símbol de múltiples arguments:

 

q-sèries modifica

Una  -sèrie és una sèrie en la qual els coeficients són funcions de  , típicament expressions de  .[2] Els primers resultats es deuen a Euler, Gauss i Cauchy. L'estudi sistemàtic comença amb Eduard Heine (1843).[3]

Relació amb altres q-funcions modifica

El  -anàleg de  , també conegut com  -claudator o  -nombre de  , es defineix com a

 

A partir d'aquest es pot definir el  -anàleg del factorial, el  -factorial, com

   
 
 
 
 

Aquests nombres són anàlegs en el sentit que

 

i també

 

El valor límit n! computa les permutacions de  -elements del conjunt  . Igualment, compte el nombre de seqüències del conjunt   de tal manera que   conté exactament  elements.[4] En comparació, quan   és una potència primer i   és un espai vectorial  -dimensional sobre el camp amb  elements, el  -anàleg   és el nombre dels ítems complets en  , és a dir, és el nombre de seqüències   de subespais tal que   té dimensió  .[4] Les consideracions precedents suggereixen que es pot considerar una seqüència de conjunts nidificats com un ítem sobre un camp conjectural amb un element (F1).

Un producte de  -nombres enters negatius pot ser expressat en termes de  -factorial com

 

A partir dels  -factorials, es pot passar a definir els coeficients  -binomials, també coneguts com els coeficients binomials de Gauss, com

 

on és fàcil veure que el triangle d'aquests coeficients és simètric en el sentit que   per a tot  .

Es pot comprovar això

 

També es pot veure des de les relacions de recurrència anteriors que les properes variants del teorema  -binomial s'amplien en termes d'aquests coeficients de la següent manera:[5]

 

Es pot definir encara més els coeficients  -multinomials

 

on els arguments   són enters no negatius que satisfan  . El coeficient anterior compta amb el nombre d'ítems   de subespais en un espai vectorial  -dimensional sobre el camp amb   elements tals que  .

El límit   dona l'habitual coeficient multinomial  , que compta amb paraules en   diferents símbols   tal que cada  apareix  vegades.

També s'obté un  -anàleg de la funció gamma, anomenada funció q-gamma, i definida com a

 

Aquesta convergeix a la funció gamma habitual quan   s'apropa a 1 des de l'interior del disc unitari. S'ha de tenir en compte que

 

per a qualsevol   i

 

per valors enters no-negatius de  . Alternativament, això es pot considerar com una extensió de la funció  -factorial al sistema de nombres reals.

Referències modifica

  1. «What is a q-series?».
  2. Bruce C. Berndt, What is a q-series?, in Ramanujan Rediscovered: Proceedings of a Conference on Elliptic Functions, Partitions, and q-Series in memory of K. Venkatachaliengar: Bangalore, 1–5 June 2009, N. D. Baruah, B. C. Berndt, S. Cooper, T. Huber, and M. J. Schlosser, eds., Ramanujan Mathematical Society, Mysore, 2010, pp. 31-51
  3. E. Heine, Untersuchungen über die Reihe, J. Reine Angew. Math. 34 (1847), 285-328
  4. 4,0 4,1 Stanley, Richard P. Enumerative Combinatorics. 1. 2. Cambridge University Press, 2011. , Section 1.10.2.
  5. Olver et. al.. NIST Handbook of Mathematical Functions, 2010, p. 421. 

Bibliografia modifica

Vegeu també modifica

Enllaços externs modifica