Identitats de Rogers-Ramanujan

En matemàtiques, i específicament en combinatòria analítica, les Identitats de Rogers–Ramanujan son dues igualtats relatives a les sèries hipergeomètriques bàsiques, descobertes i demostrades per primera vegada per Leonard James Rogers el 1894.^[1] Van ser redescobertes (sense demostració) per Srinivasa Ramanujan una mica després del 1913. Ramanujan no donava demostració, però va reeditar l'article de Rogers el 1917 i van publicar una demostració conjuntament el 1919.^[2] Issai Schur les va redescobrir i demostrar de forma independent el 1917.

Enunciat modifica

Les identitats de Rogers- Ramanujan són:

$G(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots$ (sèrie A003114 del OEIS).
$H(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+\cdots$ (sèrie A003106 del OEIS).

On, $(\cdot ;\cdot )_{n}$ denota el símbol q-Pochhammer.

Que també es poden expressar de la següent forma:^[3]

$1-\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {q^{m^{2}}}{(1-q)(1-q^{2})\dots (1-q^{m})}}=\prod _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5m+1})(1-q^{5m+4})}}$
$1-\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {q^{m^{2}+m}}{(1-q)(1-q^{2})\dots (1-q^{m})}}=\prod _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5m+2})(1-q^{5m+3})}}$