Q-derivada

En matemàtiques, en l'àrea de la combinatòria, la q-derivada (o derivada de Jackson), és un q-anàleg de la derivada ordinària, introduïda per Frank Hilton Jackson. És la inversió de la q-integral de Jackson. Per a altres formes de q-derivades, vegeu (Chung et al. (1994)).

Definició

La q-derivada d'una funció f(x) es defineix com

\left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.

També s'escriu sovint com $D_{q}f(x)$ . La q-derivada també es coneix com a «derivada de Jackson».

Formalment, en termes de l'operador de decalatge de Lagrange en variables logarítmiques, representa l'operador

D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,

que va a la derivada plana $\to {\frac {d}{dx}}$ com $q\to 1$ .

És manifestament lineal,

\displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.

Té una regla del producte anàloga a la regla del producte de la derivada ordinària, amb dues formes equivalents:

\displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).

De manera similar, compleix una regla del quocient,

\displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.

També hi ha una regla similar a la regla de la cadena per a derivades ordinàries. Fem $g(x)=cx^{k}$ . Llavors

\displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).

La funció pròpia de la q-derivada és la funció q-exponencial e_q(x).

Relació amb les derivades ordinàries

La q-diferenciació s'assembla a la diferenciació ordinària, amb diferències curioses. Per exemple, la q-derivada del monomi és:

\left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}

on $[n]_{q}$ és el q-claudator de n. Vegeu que $\lim _{q\to 1}[n]_{q}=n$ , de manera que la derivada ordinària es recupera en aquest límit.

La n-èsima q-derivada d'una funció ve donada com:

(D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]_{q}!

sempre que la n-èsima derivada ordinària de $f$ existeixi a $x=0$ . Aquí, $(q;q)_{n}$ és el símbol q-Pochhammer, i $[n]_{q}!$ és el q-factorial. Si $f(x)$ és analítica, podem aplicar la fórmula de Taylor a la definició de $D_{q}(f(x))$ per obtenir:

\displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x).

El q-anàleg de la sèrie de Taylor d'una funció sobre zero és:

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}

Exemples

$D_{q}sin(x)={\frac {\sin \left(qx\right)-\sin \left(x\right)}{\left(q-1\right)x}}$

q-derivada de sin(x) (animació)

q-derivada de sin(x) (gràfica 3D)

q-derivada de sin(x) (animació 2D)

q-derivada de sin(x) (gràfica de densitat)

$D_{q}tanh(x)={\frac {\tanh \left(qx\right)-\tanh \left(x\right)}{\left(q-1\right)x}}$

q-derivada de tanh(x) (animació)

q-derivada de tanh(x) (gràfica 3D)

q-derivada de tanh(z) (gràfica 3D complex)

q-derivada de tanh(z) (gràfica de densistat 2D)

Referències

F. H. Jackson (1908), On q-functions and a certain difference operator, Trans. Roy. Soc. Edin., 46, 253-281.
Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum Calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8
Chung, K. S., Chung, W. S., Nam, S. T., & Kang, H. J. (1994). New q-derivative and q-logarithm. International Journal of Theoretical Physics, 33, 2019-2029.

Bibliografia

J. Koekoek, R. Koekoek, A note on the q-derivative operator, (1999) ArXiv math/9908140
Thomas Ernst, The History of q-Calculus and a new method,(2001)