Q-derivada
En matemàtiques, en l'àrea de la combinatòria, la q-derivada (o derivada de Jackson), és un q-anàleg de la derivada ordinària, introduïda per Frank Hilton Jackson. És la inversió de la q-integral de Jackson. Per a altres formes de q-derivades, vegeu (Chung et al. (1994)).
Definició
modificaLa q-derivada d'una funció f(x) es defineix com
També s'escriu sovint com . La q-derivada també es coneix com a «derivada de Jackson».
Formalment, en termes de l'operador de decalatge de Lagrange en variables logarítmiques, representa l'operador
que va a la derivada plana com .
És manifestament lineal,
Té una regla del producte anàloga a la regla del producte de la derivada ordinària, amb dues formes equivalents:
De manera similar, compleix una regla del quocient,
També hi ha una regla similar a la regla de la cadena per a derivades ordinàries. Fem . Llavors
La funció pròpia de la q-derivada és la funció q-exponencial eq(x).
Relació amb les derivades ordinàries
modificaLa q-diferenciació s'assembla a la diferenciació ordinària, amb diferències curioses. Per exemple, la q-derivada del monomi és:
on és el q-claudator de n. Vegeu que , de manera que la derivada ordinària es recupera en aquest límit.
La n-èsima q-derivada d'una funció ve donada com:
sempre que la n-èsima derivada ordinària de existeixi a . Aquí, és el símbol q-Pochhammer, i és el q-factorial. Si és analítica, podem aplicar la fórmula de Taylor a la definició de per obtenir:
El q-anàleg de la sèrie de Taylor d'una funció sobre zero és:
Exemples
modifica
Referències
modifica- F. H. Jackson (1908), On q-functions and a certain difference operator, Trans. Roy. Soc. Edin., 46, 253-281.
- Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
- Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum Calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8
- Chung, K. S., Chung, W. S., Nam, S. T., & Kang, H. J. (1994). New q-derivative and q-logarithm. International Journal of Theoretical Physics, 33, 2019-2029.
Bibliografia
modifica- J. Koekoek, R. Koekoek, A note on the q-derivative operator, (1999) ArXiv math/9908140
- Thomas Ernst, The History of q-Calculus and a new method,(2001)