En matemàtiques, en la teoria de nombres, la funció zeta local (de vegades anomenada funció zeta congruent) es defineix com

on és el nombre de punts de definit sobre extensió de cossos de grau de de , i és una varietat algebraica projectiva - dimensional no-singular sobre el camp amb elements. Per la transformació de variables , es defineix

com la sèrie formal de potències de la variable .

De manera equivalent, la funció zeta local de vegades es defineix de la següent manera:

En altres paraules, la funció zeta local amb coeficients en el camp finit es defineix com una funció derivada logarítmica que genera els nombres per a la quantitat de solucions d'un conjunt d'equacions definides en un camp finit , en l'extensió de cossos de grau de de .

Formulació modifica

Donat un camp finit  ,hi ha, fins a l'isomorfisme, només un camp   amb

 ,

per a  . Donat un conjunt d'equacions polinòmiques (o una varietat algebraica  ) definida sobre  , podem comptar el nombre   de solucions a   i crear la funció generatriu

 

La definició correcta per a   és fer el   igual a  , i així

 

obtenint   on  , i   és a priori una sèrie formal de potències.

S'ha de tenir en compte que la derivada logarítmica

 

és igual a la funció generatriu

 .

Exemples modifica

Per exemple, assumir que totes les opcions   siguin  ; això passa, per exemple, si comencem per una equació com  , de manera que geomètricament estem fent   un punt. Llavors

 

és l'expansió d'un logaritme (per a  ). En aquest cas, tenim

 

Per fer alguna cosa més interessant, deixem que   sigui la línia projectada sobre  . si   elements, llavors hi ha   punts, incloent com hem de fer el punt de l'infinit. Per tant, tindrem

 

i

 

per a  .

En aquest cas tenim

 

El primer estudi d'aquestes funcions va ser en la tesi d'Emil Artin de 1923. Va obtenir resultats per al cas de la corba hiperel·líptica i va conjeturar els principals punts principals de la teoria tal com s'aplica a les corbes. La teoria va ser desenvolupada per F. K. Schmidt i Helmut Hasse.[1] Els primers casos no trivials coneguts de les funcions zeta locals estaven implícites en Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss, article 358; hi ha certs exemples particulars de corbes el·líptiques sobre camps finits que tenen una multiplicació complexa, tenen els seus punts explicats per mitjà de la ciclotomia.[2]

Per a la definició i alguns exemples, vegeu també [Hartshorne, 1977].[3]

Motivacions modifica

La relació entre les definicions de   i   es pot explicar de diverses maneres (vegeu, per exemple, la fórmula de producte infinit per a   a continuació.) A la pràctica, fa   una funció racional de  , cosa que és interessant fins i tot en el cas de   una corba el·líptica sobre camp finit.

Les funcions   són dissenyades per multiplicar-se, per obtenir funcions zeta globals. Aquests involucren diferents camps finits (per exemple, tota la família dels camps   quan   corre sobre tots els nombres primers). En aquesta connexió, la variable   experimenta la substitució per  , on   és la variable complexa tradicionalment utilitzada a les sèries de Dirichlet (per obtenir més informació, consultar la funció zeta de Hasse-Weil).

Amb aquesta comprensió, sorgeixen els productes de la   en els dos casos utilitzats com a exemples   i  .

Hipòtesi de Riemann per a corbes sobre cossos finits modifica

Per a les corbes projectives   sobre   que són no-singulars, es pot demostrar que

 

amb   un polinomi, de grau   on   és el genus de  . Reescrivint

 

la hipòtesi de Riemann per a corbes sobre cossos finits és

 

Per exemple, per al cas de la corba el·líptica hi ha dues arrels, i és fàcil mostrar els valors absoluts de les  arrels. El teorema de Hasse és que tenen el mateix valor absolut; i això té conseqüències immediates pel nombre de punts.

André Weil ho va demostrar per al cas general, al voltant de 1940 (Comptes Rendus note, abril de 1940); va passar molt de temps en els anys posteriors a la redacció de la geometria algebraica. Això el va portar a les conjectures generals de Weil, Alexander Grothendieck va desenvolupar l'esquema de la teoria per solucionar-ho i, finalment, Pierre Deligne ho va demostrar una generació més tard. Vegeu cohomologia étale per a les fórmules bàsiques de la teoria general.

Fórmules generals per a la funció zeta modifica

És una conseqüència de la fórmula de la traça de Lefschetz per al morfisme de Frobenius que

 

Aquest  és un esquema separat de tipus finit sobre el camp finit   amb   elements, i   és el Frobenius geomètric que actua en la cohomologia étale  -àdic amb suports compactes de  , l'aixecament de  al tancament algebraic del camp  . Això demostra que la funció zeta és una funció racional de  .

Una fórmula de producte infinit per a   és

 

Aquí, el producte s'estén sobre tots els punts tancats   de  , i   és el grau de  . La funció zeta local   es considera com una funció de la variable complexa   mitjançant el canvi de  variables.

En el cas on   és la varietat   esmentada anteriorment, els punts tancats són les classes d'equivalència   dels punts   en  , on dos punts són equivalents si són conjugats sobre  . El grau de   és el grau de l'extensió de camp de   generat per les coordenades de  . La derivada logarítmica del producte infinit   es veu fàcilment com la funció generatriu comentada anteriorment, és a dir

 .

Referències modifica

  1. Daniel Bump, Algebraic Geometry (1998), p. 195.
  2. Barry Mazur, Eigenvalues of Frobenius, p. 244 en Algebraic Geometry, Arcata 1974: Proceedings American Mathematical Society (1974).
  3. Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, p. 449 Springer 1977 APPENDIX C "The Weil Conjectures"

Vegeu també modifica