Grup de Heisenberg

grup no-abelià

En matemàtiques, el grup de Heisenberg sobre un anell commutatiu A és el grup de matrius triangulars superiors 3 × 3 de la forma

sota l'operació de multiplicació matricial, on a , b , c són elements de a A . Sovint es pren com anell A el cos dels nombres reals, en què el grup es nota per , o l'anell dels sencers racionals, notant llavors al grup per .

Generalització a dimensions superiors

modifica

La generalització més simple consisteix en el grup de matrius quadrades reals d'ordre n+2 , de la forma

 

on   és la matriu identitat d'ordre n , a és un vector fila i b un vector columna, ambdós de longitud n .

Com a varietat subriemanniana

modifica
 
Una animació d'una geodèsica en el grup de Heisenberg

També es pot entendre el grup de Heisenberg tridimensional H3(R) en els reals com a varietat diferenciable, i específicament, com a exemple simple d'una varietat subriemanniana.[1] Donat un punt p=(x,y,z) en R3, defineixi's un 1-forma diferencial Θ en aquest punt com

 

Aquesta 1-forma pertany al fibrat cotangent de R3; és a dir,

 

és un mapa en el fibrat tangent. Sigui

 

Es pot veure que H és un subfibrat del fibrat tangent TR3. Una comètrica en H ve donada per projectar els vectors en l'espai bidimensional estès per vectors en les direccions x i y. És a dir, donats els vectors   i   en TR3, el producte escalar donat per

 

L'estructura resultat converteix H en la varietat del grup de Heisenberg. Un marc ortonormal en la varietat ve donat pels camps vectorials de Lie

 

que compleixen les relacions [X, Y] = Z i [X, Z] = [Y, Z] = 0. Com que són camps vectorials de Lie, formen una base invariant per l'esquerra per l'acció de grup. Les geodèssiques en la varietat són espirals, que projecten cercles en el pla horitzontal bidimensional. És a dir, si

 

és una corba geodèssica, llavors la corba   és un arc d'un cercle, i

 

amb la integral limitada al pla bidimensional. És a dir, l'alçada de la corba és proporcional a l'àrea del cercle subtingut per l'arc circular, com es desprèn del teorema de Stokes.

Referències

modifica
  1. Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9.