Varietat subriemanniana

En matemàtiques, una varietat subriemanniana és un cert tipus de generalització d'una varietat de Riemann. A grans trets, per mesurar distàncies en una varietat subriemanniana, només està permès moure's a través de corbes tangents als anomenats subespais horitzontals.

Les vairetats subriemannianes (i, a fortiori, també les varietats riemannianes) posseeixen una mètrica intrínseca anomenada mètrica de Carnot–Carathéodory. En aquests espais mètrics, la dimensió de Hausdorff és sempre un enter més gran que la seva dimensió topològica (a no ser que es tracti d'una varietat pròpiament riemanniana).

Les varietat subriemannianes apareixen sovint en l'estudi de sistemes constrets en mecànica clàssica, tals com el moviment de vehicles en una superfície, el moviment de braços mecàncis o la dinàmica orbital de satèl·lits. Quantitats geomètriques tals com la fase geomètrica poden ser estudiades dins del llenguatge de la geometria subriemanniana. El grup de Heisenberg, dins de la mecànica quàntica, té una estructura nataural subriemanniana.

Definicions

modifica

(Per distribució sobre   s'entén un subfibrat del fibrat tangent de  .)

Donada una distribució  , un camp vectorial en   s'anomena horizontal. Una corba   sobre   rep el nom d'horizontal si   per a tot  .

Una distribució sobre   rep el nom de completament no-integrable si per a tot   es compleix que tot vector tangent es pot representar com una combinació lineal de vectors del tipus   on tots els camps vectorials   són horitzontals.

Una varietat subriemanniana és una terna  , on   és una varietat diferenciable,   és una distribució "horitzontal" completament no-integrable i   una secció suau de formes quadràtiques definides positives.

Tota varietat subriemanniana posseeix la mètrica intrínseca, anomenada la mètrica de Carnot–Carathéodory, definida com

 

on l'ínfim es pren al llarg de totes les corbes horitzontals   tals que  ,  .

Exemples

modifica

La posició d'un cotxe en el pla està determinada per tres paràmetres: dues coordenades   i   per a la seva localització i un angle   que descriu la orientació del cotxe. D'aquesta manera, la posició del cotxer pot ser descrita per un punt en una varietat

 

Hom es pot preguntar quina és la distància mínima per arribar d'una posició a una altra. Això defineix una mètrica de Carnot–Carathéodory en la varietat

 

Un exemple similar relacionat d'una mètrica subriemanniana pot ser construït en un grup de Heisenberg: es prenen dos elements   i   en la corresponent àlgebra de Lie tals que

 

generin tota l'àlgebra. La distribució horitzontal   generada per desplaçament per l'esquerra de   i   és completament no integrable. En escollir qualsevol forma quadràtica positiva llisa en   s'obté una mètrica subriemanniana en el grup.

Propietats

modifica

Per tota varietat subriemanniana, existeix un hamiltonià, anomenat el hamiltonià subriemannià, construït a partir de la mètrica de la varietat. A la inversa, tot hamiltònià quadràtic tal indueix una varietat subriemanniana.

Les solucions de les equacions de Hamilton-Jacobi corresponents al hamiltonià subriemannià s'anomenen geodèsiques, i generalitzen les geodèsiques riemannianes.

Referècies

modifica