Integral de Selberg

En matemàtiques, la integral de Selberg és una generalització de la funció beta d'Euler a n dimensions introduïdes per Atle Selberg (1944)

La fórmula integral de Selberg modifica

 

La fórmula de Selberg implica la identitat de Dixon per a les sèries hipergeomètriques ben ponderades, i alguns casos especials de la conjectura de Dyson.

La fórmula integral d'Aomoto modifica

Aomoto (1987) va provar una fórmula integral una mica més general:

 
 

La fórmula integral de Mehta modifica

La integral de Mehta és

 

És la funció de partició per a un gas de càrregues puntuals que es mouen sobre una línia que s'atreu a l'origen (Mehta 2004). El seu valor es pot deduir del de la integral de Selberg, i és

 

Això ho va conjecturar Mehta & Dyson (1963), que desconeixien els treballs anteriors de Selberg.

La fórmula integral de Macdonald modifica

Macdonald (1982) va conjecturar la següent extensió de la integral de Mehta a tots els sistemes d'arrel finita; el cas original de Mehta corresponent al sistema d'arrels An−1.

 

El producte està sobre les r arrels del sistema d'arrels i els nombres dj són els graus dels generadors de l'anell d'invariants del grup de reflexió. Opdam (1989) va donar una prova uniforme per a tots els grups cristal·lins de reflexió. Diversos anys després ho va demostrar en general (Opdam (1993)), utilitzant els càlculs assistits per ordinador per Garvan.

Referències modifica