En matemàtiques, la funció beta, també anomenada funció beta d'Euler o integral d'Euler de primera classe, és un tipus d'integral d'Euler definida, per a dos nombres complexos i de parts reals estrictament positives (), per:
La funció beta va ser estudiada per Euler i Legendre, però va ser Jacques Binet qui li va posar el nom; el símbol, Β, és una beta majúscula grega, que és semblant a la majúscula llatinaB.
També hi ha una versió de la funció beta incompleta (la funció beta incompleta) i una versió regularitzada de la mateixa (la funció beta incompleta regularitzada).
Una gràfica de la funció beta per a x i y positius
Donada una funció f, moltes vegades és útil expressar f (x +y) en termes de f (x) i f (y). Per exemple, per l'exponencial es té
Aquesta anàlisi, aplicat a la funció gamma, condueix a la definició de la funció beta. Per i , dos nombres complexos amb les seves parts reals positives (), considerem el producte :
La funció beta és simètrica, el que significa que[1]
Una propietat fonamental de la funció beta és la seva relació amb la funció gamma; la prova es dona a continuació, en la secció sobre la relació entre la funció gamma i funció beta[1]
La integral d'Euler integral de la funció beta pot ser convertida en una integral C sobre el contorn de Pochhammer com
Aquesta integral del contorn de Pochhammer convergeix per a tots els valors de α i β, i així dona la continuació analítica de la funció beta.
De la mateixa manera que la funció gamma per a enters descriu factorials, la funció beta pot definir un coeficient binomial després d'ajustar els índexs:
Si i y són nombres enters positius, aquesta equació pot reescriure en termes de factorials o coeficient binomial:
D'altra banda, per al sencer n, Β pot ser un factor per donar una forma tancada, una funció d'interpolació per a valors continus de k:
La funció beta incompleta, una generalització de la funció beta, es defineix com
Per x = 1, la funció beta incompleta coincideix amb la funció beta completa. La relació entre les dues funcions és com la que hi ha entre la funció gamma i la seva generalització de la funció gamma incompleta.
La funció beta incompleta regularitzada (o funció beta regularitzada per abreujar) es defineix en termes de la funció beta incompleta i la funció beta completa:
Fins i tot si no estan disponibles directament, els valors de la funció beta completa i incompleta es poden calcular utilitzant les funcions que se solen incloure en els sistemes de fulls de càlcul o àlgebra computacional. Per exemple, en Excel, el valor de la funció beta completa es pot calcular a partir de la funcióGammaLn:
Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))
El valor de la funció beta incompleta es pot calcular com:
Value = BetaDist(x, a, b) * Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b)).
Aquests resultats es dedueixen de les propietats esmentades anteriorment.
De la mateixa manera, betainc (funció beta incompleta) en MATLAB and GNU Octave, pbeta (probabilitat de distribució beta) en R, o special.betainc en paquet SciPy de Python, calcula la funció beta incompleta, que és de fet, la distribució beta acumulativa regularitzada i així, per obtenir la funció beta incompleta real, cal multiplicar el resultat de betainc pel resultat retornat per la funció beta corresponent.
Askey, R. A; Roy, R. Beta function (en Handbook of Mathematical Functions) (en anglès). Nova York: Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0521192255.
Paris, R. B. Incomplete beta functions (en Handbook of Mathematical Functions) (en anglès). Nova York: Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0521192255.
Zelen, M; Severo, N. C. Probability functions (en Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables) (en anglès). Dover Publications, 1972, p. 925–995. ISBN 978-0-486-61272-0.