Integral de Volkenborn

En matemàtiques, en el camp de l'anàlisi p-àdic, la integral de Volkenborn és un mètode d'integració de funcions p-àdiques.

Aquesta integral va ser definida pel matemàtic alemany Arnt Volkenborn en la seva dissertació a la Universitat de Colònia el 1971.

Definició

Sigui $f:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {C} _{p}$ una funció dels enters p-àdics que prenen valors en els nombres p-àdics. La integral de Volkenborn es defineix pel límit, si existeix:

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p^{n}}}\sum _{x=0}^{p^{n}-1}f(x).$

Més en general, si

$R_{n}=\left\{\left.x=\sum _{i=r}^{n-1}b_{i}x^{i}\right|b_{i}=0,\ldots ,p-1{\text{ per a }}r<n\right\}$

llavors

$\int _{K}f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p^{n}}}\sum _{x\in R_{n}\cap K}f(x).$

Exemples

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}1\,{\rm {d}}x=1$

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}x\,{\rm {d}}x=-{\frac {1}{2}}$

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}x^{2}\,{\rm {d}}x={\frac {1}{6}}$

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}x^{k}\,{\rm {d}}x=B_{k}$

on $B_{k}$ és el k-èssim nombre de Bernoulli.

Els quatre exemples anteriors es poden comprovar fàcilment mitjançant l'ús directe de la definició i la fórmula de Faulhaber.

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}{x \choose k}\,{\rm {d}}x={\frac {(-1)^{k}}{k+1}}$

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}(1+a)^{x}\,{\rm {d}}x={\frac {\log(1+a)}{a}}$

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}e^{ax}\,{\rm {d}}x={\frac {a}{e^{a}-1}}$

Els dos últims exemples es poden comprovar formalment expandint la sèrie de Taylor i integrant el terme.

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}\log _{p}(x+u)\,{\rm {d}}u=\psi _{p}(x)$

amb la funció logarítmica p-àdica $\log _{p}$ i la funció digamma p-àdica $\psi _{p}$

Propietats

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x+m)\,{\rm {d}}x=\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,{\rm {d}}x+\sum _{x=0}^{m-1}f'(x)$

A partir d'aquí es dedueix que la integral de Volkenborn no és invariant per la translació.

Si $P^{t}=p^{t}\mathbb {Z} _{p}$ llavors

$\int _{P^{t}}f(x)\,{\rm {d}}x={\frac {1}{p^{t}}}\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(p^{t}x)\,{\rm {d}}x$

Bibliografia

• Kim, Min-Soo; Son, Jin-Woo «Analytic Properties of the q-Volkenborn Integral on the Ring of p-Adic Integers». Bulletin of the Korean Mathematical Society, 44(1), 2007, pàg. 1-12. ISSN: 1015-8634.
• Robert, Alain M. A Course on p-adic Analysis (=Graduate Texts in Mathematics. vol. 198) (en anglès). Nova York: Springer, 2000, p. 263-279. ISBN 0-387-98669-3.