Obre el menú principal

Fórmula del semiversinus

(S'ha redirigit des de: Mètode del haversine)
Sinus, cosinus, i versinus de θ sobre la base de la circumferència goniomètrica

La fórmula del semiversinus o fórmula del haversine és una important equació per a la navegació astronòmica, pel que fa al càlcul distància de cercle màxim entre dos punts d'un globus sabent la seva longitud i la seva latitud. És un cas especial d'una fórmula més general de trigonometria esfèrica, la llei del haversine, sobre els costats i angles d'un "triangle esfèric". La primera Taula de haversines en Anglès va ser publicada per James Andrew el 1805.[1]

Florian Cajori acredita el seu primer ús a José de Mendoza y Ríos el 1801[2] El terme haversine va ser encunyat el 1835 per James Inman.[3][4]

Aquests noms es deriven del fet que s'acostuma a expressar-se en termes de la funció haversine, donada per:

haversine(θ) = sin 2 (θ/2)

Les fórmules també podrien estar escrites en termes de qualsevol múltiple del semiversinus, com l'antiga funció versinus (el doble del semiversinus).

Històricament, el haversine va tenir, potser, un lleuger avantatge, ja que el seu màxim és "1", de manera que les taules logarítmiques dels seus valors podien acabar amb el valor zero. Avui dia, la forma del semiversinus també és interessant, ja que no té cap coeficient davant de la funció sinus 2.

En l'època anterior a la calculadora digital, l'ús detallat de quadres impresos per a semiversinus/semiversinus invers i el seu logaritme (per ajudar en les multiplicacions) va estalviar als navegants calcular els quadrats dels sinus, el càlcul d'arrels quadrades, etc., un procés ardu i que podia causar alguns errors (vegeu també versinus).[5][6][7]

Fórmula del semiversinusModifica

Per a qualsevol parell de punts sobre una esfera:

 

on

  • hav és la funció semiversinus:
 
  • d és la distància entre els dos punts (al llarg d'un cercle màxim de l'esfera, vegeu distància esfèrica).
  • r és el radi de l'esfera,
  • φ 1 és la latitud del punt 1,
  • φ 2 és la latitud del punt 2, i
  • Δ λ és la diferència de longitud,

Tingueu en compte que l'argument a la funció semiversinus ha de donar-se en radians. En graus, semiversinus(d/r) de la fórmula es convertiria en semiversinus (180·d r ).

Llavors es pot resoldre per d,ja sigui mitjançant la simple aplicació del semiversinus invers (si està disponible) o mitjançant l'ús de la funció arcsinus:

 

on

  • h és hav(d/r), o més explícitament:
 
 

En utilitzar aquestes fórmules, s'ha de tenir cura per assegurar-se que h no excedeixi 1 per raó d'un error de coma flotant (d és només real per h de 0 a 1). h només s'aproxima a 1 als punts antipodals (en els costats oposats de l'esfera) - en aquesta regió, errors numèrics relativament grans tendeixen a sorgir en la fórmula quan s'utilitza una precisió finita. No obstant això, ja que d llavors és bastant gran (s'acosta a π ·R, la meitat de la circumferència) un petit error sovint no és una preocupació important en aquest cas inusual (encara que hi ha altres fórmules distància de cercle màxim que eviten aquest problema). (La fórmula anterior s'escriu de vegades en termes de la funció arctangent, però aquesta pateix de problemes numèrics similars a prop de h = 1.)

Com es descriu a continuació, en lloc de semiversinus, també es pot escriure una fórmula similar, en termes dels cosinus -a vegades anomenada la llei esfèrica del cosinus (que cal no confondre amb la llei del cosinus de la geometria plana)-, però per un cas comú de distàncies/angles petits... un petit error en les dades d'entrada de la funció "arccos" porta a un gran error en el resultat final. Això fa que la fórmula no sigui apta per a un ús general.

Aquesta fórmula és només una aproximació quan s'aplica a la Terra, perquè la Terra no és una esfera perfecta: el radi de la Terra R varia de 6.356,78 quilòmetres en els pols fins a 6.378,14 quilòmetres a l'equador. Hi ha petites correccions, típicament de l'ordre de 0,1% (suposant la mitjana geomètrica R = 6367,45 quilòmetres que s'utilitza a tot arreu, per exemple), a causa d'aquesta lleugera forma el·liptica del planeta. Un altre mètode més precís, que té en compte la forma el·líptica de la Terra, ve donada per les fórmules de Vincenty.

Llei del semiversinusModifica

Donada una esfera unitat, un "triangle esfèric" sobre la superfície de l'esfera definit pels cercles màxims que connecten tres punts u, v, i w de l'esfera. Si els tres arcs són: a (de u a v), b (de u a w), i c (de v a w), i l'angle del vèrtex oposat a c és C, llavors la llei del semiversinus diu:

(la llei del semiversinus)
 [8]
 
Triangle esfèric resolt per la fórmula del haversine.

Com que es tracta d'una esfera unitat, els arcs a, b i c són simplement iguals als angles centrals (en radians) que els defineixen (comprenen) des del centre de l'esfera (per a una esfera no-unitat, cadascuna d'aquestes longituds d'arc és igual al seu angle central multiplicat pel radi de l'esfera).

Per tal d'obtenir la fórmula del semiversinus de la secció anterior d'aquesta llei, simplement es considera el cas especial on u és el pol nord, mentre que w i v són els dos punts entre els quals es vol determinar la distància d. En aquest cas, a i b són π/2 - φ1,2 (és a dir, 90° - latitud), C és l'increment de longitud Δλ, i c és la distància d/R que es vol calcular. Prenent nota que sin(π/2 − φ) = cos(φ), la fórmula del haversine calcula com segueix:

Per tal de deduir la fórmula del semiversinus, es parteix de la llei esfèrica del cosinus:

(teorema esfèric del cosinus)
 

Com s'ha dit abans, aquesta fórmula no és bona per al càlcul de c quan c és petit. En el seu lloc, se substitueix la identitat tal que: cos(θ) = 1 − 2 hav(θ), i per tal d'obtenir la llei del semiversinus esmentada més amunt.s'empra, a més a més, la identitat de la suma'

cos(ab) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica

  1. van Brummelen, Glen Robert. Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry. Princeton University Press, 2013. 0691148929. ISBN 9780691148922. 
  2. José de Mendoza y Ríos. Memoria sobre algunos metodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares y explicaciones prácticas de una teoría para la solución de otros problemas de navegación. Imp. Real, 1795 [Consulta: 30 gener 2013]. 
  3. Inman, James. Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen. 3. London, UK: W. Woodward, C. & J. Rivington, 1835.  (Fourth edition: [1].)
  4. Plantilla:OED2
  5. H. B. Goodwin, The haversine in nautical astronomy, Naval Institute Proceedings, vol. 36, no. 3 (1910), pp. 735–746: Evidently if a Table of Haversines is employed we shall be saved in the first instance the trouble of dividing the sum of the logarithms by two, and in the second place of multiplying the angle taken from the tables by the same number. This is the special advantage of the form of table first introduced by Professor Inman, of the Portsmouth Royal Navy College, nearly a century ago.
  6. W. W. Sheppard and C. C. Soule, Practical navigation (World Technical Institute: Jersey City, 1922).
  7. E. R. Hedrick, Logarithmic and Trigonometric Tables (Macmillan, New York, 1913).
  8. Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. «Appendix B: B9. Plane and Spherical Trigonometry: Formulas Expressed in Terms of the Haversine Function». A: Mathematical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorems, and formulars for reference and review. 3. Mineola, New York, USA: Dover Publications, Inc., 2000, p. 892–893. ISBN 978-0-486-41147-7. 

BibliografiaModifica

Enllaços externsModifica