Polinomi trigonomètric
Un polinomi trigonomètric, també anomenat suma trigonomètrica és una combinació lineal finita de funcions trigonomètriques sinus i cosinus del tipus i amb , prenent els valors d'un o més nombres naturals, i un nombre real. Els polinomis trigonomètrics són àmpliament utilitzats, per exemple, en la interpolació trigonomètrica aplicada a funcions periòdiques, en la solució d'equacions diferencials lineals ordinàries amb coeficients constants, i en el càlcul de la transformada discreta de Fourier. El polinomi trigonomètric també permet una representació complexa (formal) clara en la que certes combinacions lineals complexes es formen a partir de les funcions exponencials en lloc de les funcions cosinus i sinus. Amb aquesta representació, sovint es simplifiquen els càlculs.
En la teoria de funcions, l'anàlisi funcional i en moltes aplicacions, com la teoria del nombre analític, qualsevol combinació lineal complexa de funcions amb un nombre fix real es denomina polinomi trigonomètric complex o suma trigonomètrica complexa.
Tant els polinomis trigonomètrics reals com els complexos proporcionen les millors aproximacions úniques, en qualsevol grau donat, per a cada funció que les funcions trigonomètriques generadores que cada un conté com a base ortonormal (sistema ortogonal).
Els polinomis trigonomètrics són sumes parcials de les sèries de Fourier, les quals tenen infinits termes.
Definicions
modificaPolinomi trigonomètric real
modificaS'anomena polinomi trigonomètric real de grau n-èsim, a qualsevol funció definida per:
sent i coeficients reals no nuls, amb [1]
Període d'un polinomi trigonomètric
modificaUn polinomi trigonomètric real, sent compost de funcions periòdiques, també es pot definir una mica més generalment pel seu període, sent aquest un nombre real positiu . Si es defineix , llavors el polinomi es pot escriure com :
on és l'anomenada freqüència angular.
Per als paràmetres restants, les mateixes suposicions i designacions s'apliquen com en el cas especial de i .
Polinomi trigonomètric complex
modificaDe manera similar, s'anomena polinomi trigonomètric complex de grau n-èsim, a qualsevol funció definida per:
sent i també coeficients reals no nuls, amb i .
Usant la fórmula d'Euler, l'anterior equació pot ser reescrita com:
sent un coeficient complex, escrit en la forma polar o en la forma
Propietats
modificaOrtogonalidad
modificaEls polinomis trigonomètrics compleixen amb les següents propietats ortogonals, sent i definit com s'ha fet prèviament:
- ,
En el cas dels polinomis trigonomètrics complexos, sent l'ortogonalitat s'expressa així:
Convergència
modificaEl teorema de Fejér estableix que la mitjana aritmètica de les sumes parcials de la sèrie de Fourier de la funció convergeix uniformement a , sempre que aquesta funció sigui contínua en el cercle, donant així una manera explícita de trobar un polinomi trigonomètric aproximat .
Teorema de Weierstrass
modificaEls polinomis trigonomètrics formen un conjunt dens en l'espai de funcions contínues en el cercle unitari, amb la norma uniforme.[2] Aquest és un cas especial del teorema de Stone-Weierstrass. Més concretament, per a cada funció contínua i cada , existeix un polinomi trigonomètric tal que per a tot nombre .
Quantitat d'arrels
modificaUn polinomi trigonomètric de grau N té un màxim de 2N arrels en qualsevol interval semiobert sent un nombre real.[3]
Referències
modifica- ↑ Bruzual, Ramón; Domínguez, Marisela. «Series de Fourier» p. 9. Escuela de Matemáticas (Universidad Central de Venezuela), 14-10-2003.
- ↑ Rudin, Walter. «4». A: Real and complex analysis (en anglès). Nova York: McGraw-Hill, 1987. ISBN 978-0-07-054234-1.
- ↑ Powell, Michael. J. D. Approximation theory and methods (en anglès). Cambridge: Cambridge University Press, 1996, p. 150. ISBN 978-0-521-29514-7.