Els anomenats problemes de Smale són una llista de 18 problemes matemàtics no resolts proposada per Steve Smale el 1998[1] i republicada el 1999.[2] Smale va compondre aquesta llista en resposta a una petició de Vladímir Arnold, llavors president de la Unió Matemàtica Internacional, que va demanar a diversos matemàtics llistar els problemes matemàtics més interessants per al segle xxi, inspirat en la llista de problemes de Hilbert proposats el 1900.

Problemes

modifica
# Formulació Estat
1 Hipòtesi de Riemann (vegeu també el 8è problema de Hilbert)
2 Conjectura de Poincaré[3] Demostrada per Grigori Perelmán el 2003 utilitzant el flux de Ricci[4]
3 P = NP
4 Conjectura τ de Shub-Samle sobre les arrels senceres d'un polinomi d'una variable[5][6]
5 Límits verticals de les corbes diofàntiques
6 Finitud del nombre d'equilibris relatius en mecànica celeste Demostrat per sis cossos per A. Albouy i V. Kaloshin el 2012.[7]
7 Distribució de punts en una 2-esfera
8 Introducció de dinàmiques en la teoria econòmica
9 Problema de la programació lineal
10 Lema de Pugh
11 És la dinàmica unidimensional generalment hiperbòlica?
12 Centralitzadors de difeomorfismes Resolt en la topologia C¹ per C. Bonatti, S. Crovisier i Amie Wilkinson[8]
13 16è problema de Hilbert
14 Atractor de Lorenz Resolt per Warwick Tucker usant aritmètica d'intervals.[9]
15 Equacions de Navier-Stokes
16 Conjectura jacobiana (de forma equivalent, conjectura de Dixmier)
17 Resolució d'equacions polinòmiques en temps polinomial en el cas estàndard Parcialment resolt per Carlos Beltrán Álvarez i Luis Miguel Pardo, que proposen un algorisme probabilístic amb complexitat polinòmica.[10] Una altra resposta parcial fou publicada per Felipe Cucker i Peter Bürgisser, que van procedir a l'anàlisi suau de l'algorisme probabilístic de Beltrán-Pardo i després van mostrar l'algorisme determinista en funció del temps.[11]
18 Límits de la intel·ligència
  • Llegenda:
      Problema resolt

Smale també va llistar 3 problemes addicionals:[1]

  1. Problema del valor mitjà
  2. És la 3-esfera un conjunt mínim?
  3. És un difeomorfisme d'Anosov d'una varietat tancada topològicament igual que el model de grup de Lie de John Franks?

Vegeu també

modifica

Referències

modifica
  1. 1,0 1,1 Steve Smale «Mathematical Problems for the Next Century». Mathematical Intelligencer, 20, 1998, pàg. 7–15. DOI: 10.1007/bf03025291.
  2. Steve Smale. «Mathematical problems for the next century». A: Mathematics: frontiers and perspectives. American Mathematical Society, 1999, p. 271–294. ISBN 0821820702. 
  3. O'Shea, Donal. The Poincaré Conjecture: In Search of the Shape of the Universe. Walker & Company, 26 de desembre de 2007. ISBN 978-0802716545. 
  4. Szpiro, George. Poincaré's Prize: The Hundred-Year Quest to Solve One of Math's Greatest Puzzles. Plume, 29 de juliol de 2008. ISBN 978-0-452-28964-2. 
  5. Shub, Michael; Smale, Steve «On the intractability of Hilbert’s Nullstellensatz and an algebraic version of "NP≠P?"». Duke Math. J., 81, 1995, pàg. 47–54. DOI: 10.1215/S0012-7094-95-08105-8.
  6. Bürgisser, Peter. Completeness and reduction in algebraic complexity theory. 7. Berlin: Springer-Verlag, 2000, p. 141. ISBN 3-540-66752-0. 
  7. A. Albouy, V. Kaloshin «Finiteness of central configurations of five bodies in the plane». Annals of Mathematics, 176, 2012, pàg. 535–588. DOI: 10.4007/annals.2012.176.1.10.
  8. C. Bonatti, S. Crovisier, A. Wilkinson «The C¹-generic diffeomorphism has trivial centralizer». Publications mathématiques de l'IHÉS, 109, 2009, pàg. 185–244.
  9. Warwick Tucker «A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem». Foundations of Computational Mathematics, 2, 1, 2002, pàg. 53–117. DOI: 10.1007/s002080010018.
  10. Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo «On Smale's 17th Problem: A Probabilistic Positive answer». Foundations of Computational Mathematics, 8, 1, 2008, pàg. 1–43. DOI: 10.1007/s10208-005-0211-0.[Enllaç no actiu]
  11. Felipe Cucker, Peter Bürgisser «Solving Polynomial Equations in Smoothed Polynomial Time and a Near Solution to Smale's 17th Problem». Proc. 42nd ACM Symposium on Theory of Computing, 2010. arXiv: 0909.2114.