ZFC és el conjunt d'axiomes canònic de la Teoria de conjunts. El seu nom es deu als matemàtics que la van desenvolupar: Ernst Zermelo i Abraham Fraenkel i la C per la inclusió del axioma d'elecció (Choice en anglès). Existeixen altres conjunts d'axiomes de la Teoria de Conjunts com el NBG (von Newmann, Bernays, Gödel), el TG (Tarski, Grothendieck) i el MK (Morse, Kelley), però són extensions conservadora, no conservadora i pròpia, respectivament, de ZFC.

El conjunt d'axiomes modifica

La teoria axiomàtica de conjunts es desenvolupa en el marc de la lògica de primer ordre, amb els seus símbols habituals de connectives (  ) i de quantificadors (   ), més el predicat d'igualtat ( ) i una relació binària de pertinença ( ). Denotem amb majúscules els conjunts i amb minúscules els elements d'un conjunt (que, òbviament, poden ser altres conjunts). Existeixen diverses formalitzacions equivalents dels axiomes; seguim la proposada per Thomas Jech.[1]

1 Axioma d'Extensionalitat modifica

Si   i   tenen els mateixos elements, aleshores  .

Formalment:

 

2 Axioma del Parell modifica

Per a qualsevol   i   existeix un conjunt   que conté exactament   i  

Formalment:

 

3 Axioma de Separació modifica

Si   és una propietat (amb paràmetre  ), aleshores per a tot   i   existeix un conjunt   que conté tots els   que tenen la propietat  

Formalment:

 

4 Axioma de la Unió modifica

Per a tot   existeix un conjunt  , unió de tots els elements de  

Formalment

 

5 Axioma del Conjunt Potència modifica

Per a tot   existeix un conjunt  , que és el conjunt format per tots els subconjunts de  

Formalment:

 

6 Axioma de Infinitud modifica

Existeix un conjunt infinit.

Formalment:

 

7 Axioma de Reemplaçament modifica

Si una classe   és una funció, aleshores per a tot   existeix un conjunt  

Formalment:

 

8 Axioma de Regularitat modifica

Tot conjunt no buit té un element ∈-minimal.

Formalment:

 

9 Axioma de Elecció modifica

Tota família de conjunts no buits té una funció de elecció que permet seleccionar un element de cada conjunt.

Al contrari que els axiomes anteriors, aquest axioma postula l'existència d'un conjunt sense definir-lo[2]: si   és una família de conjunts i  , aleshores una funció de elecció per a   és una funció que satisfà:  .

Referències modifica

  1. Jech, pàgina 3.
  2. Jech, pàgina 47.

Bibliografia modifica

Categoria:Teoria de conjunts