Usuari:Ferran Mir/proves

ZFC és el conjunt d'axiomes canònic de la Teoria de conjunts. El seu nom es deu als matemàtics que la van desenvolupar: Ernst Zermelo i Abraham Fraenkel i la C per la inclusió del axioma d'elecció (Choice en anglès). Existeixen altres conjunts d'axiomes de la Teoria de Conjunts com el NBG (von Newmann, Bernays, Gödel), el TG (Tarski, Grothendieck) i el MK (Morse, Kelley), però són extensions conservadora, no conservadora i pròpia, respectivament, de ZFC.

El conjunt d'axiomes

La teoria axiomàtica de conjunts es desenvolupa en el marc de la lògica de primer ordre, amb els seus símbols habituals de connectives ( $\land ,\lor ,\neg ,\rightarrow ,\leftrightarrow$) i de quantificadors ( $\forall ,\exists$ ), més el predicat d'igualtat ($=$) i una relació binària de pertinença ($\in$). Denotem amb majúscules els conjunts i amb minúscules els elements d'un conjunt (que, òbviament, poden ser altres conjunts). Existeixen diverses formalitzacions equivalents dels axiomes; seguim la proposada per Thomas Jech.

1 Axioma d'Extensionalitat

Si $X$ i $Y$ tenen els mateixos elements, aleshores $X=Y$.

Formalment:

$\forall u(u\in X\leftrightarrow u\in Y)\rightarrow X=Y$

2 Axioma del Parell

Per a qualsevol $a$ i $b$ existeix un conjunt $\{a,b\}$ que conté exactament $a$ i $b$

Formalment:

$\forall a\forall b\exists c\forall x(x\in c\leftrightarrow x=a\lor x=b)$

3 Axioma de Separació

Si $P$ és una propietat (amb paràmetre $p$), aleshores per a tot $X$ i $p$ existeix un conjunt $Y=\{u\in X:P(u,p)\}$ que conté tots els $u\in X$ que tenen la propietat $P$

Formalment:

$\forall X\forall p\exists Y\forall u(u\in Y\leftrightarrow u\in X\land \phi (u,p))$

4 Axioma de la Unió

Per a tot $X$ existeix un conjunt $Y=\bigcup X$, unió de tots els elements de $X$

Formalment

$\forall X\exists Y\forall u(u\in Y\leftrightarrow \exists z(z\in X\land u\in z))$

5 Axioma del Conjunt Potència

Per a tot $X$ existeix un conjunt $Y=P(X)$, que és el conjunt format per tots els subconjunts de $X$

Formalment:

$\forall X\exists Y\forall u(u\in Y\leftrightarrow u\subset X)$

6 Axioma de Infinitud

Existeix un conjunt infinit.

Formalment:

$\exists S(\emptyset \in S\land (\forall x\in S)x\cup \{x\}\in S)$

7 Axioma de Reemplaçament

Si una classe $F$ és una funció, aleshores per a tot $X$ existeix un conjunt $Y=F(X)=\{F(x):x\in X\}$

Formalment:

$\forall x\forall y\forall z(\phi (x,y,p)\land \phi (x,z,p)\rightarrow y=z)\rightarrow \forall X\exists Y\forall y(y\in Y\leftrightarrow (\exists x\in X)\phi (x,y,p))$

8 Axioma de Regularitat

Tot conjunt no buit té un element ∈-minimal.

Formalment:

$\forall S(S\neq \emptyset \rightarrow (\exists x\in S)S\cap x=\emptyset )$

9 Axioma de Elecció

Article principal: Axioma de l'elecció

Tota família de conjunts no buits té una funció de elecció que permet seleccionar un element de cada conjunt.

Al contrari que els axiomes anteriors, aquest axioma postula l'existència d'un conjunt sense definir-lo: si $S$ és una família de conjunts i $\emptyset \notin S$, aleshores una funció de elecció per a $S$ és una funció que satisfà: $f(X)\in X$.

Bibliografia

• Ferreirós Domínguez, José. Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics (en (anglès)). Basilea: Birkhauser, 2007. ISBN 978-3-7643-8349-7. 
• Jech, Thomas. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded (en (anglès)). Berlin: Springer Verlag, 2003. ISBN 3-540-44085-2. 

Categoria:Teoria de conjunts