Usuari:Mcapdevila/Fibrat associat

En matemàtiques, la teoria dels fibrats associats amb un grup d'estructura G (un grup topològic) permet una operació de creació d'un fibrat associat , en el qual la fibra típica d'un fibrat canvia de F ₁ a F ₂ , que són tots dos espais topològics amb una acció de grup de G .

Un exemple

Un cas simple és la cinta de Möbius, per a la qual G és un grup cíclic d'ordre 2. Podem prendre com F qualssevol entre: la recta real R , l'interval [-1, 1], la recta real menys el punt 0, o el conjunt de dos punts{-1, 1}. L'acció de G en aquests (l'element no-identitat actua com x --> -x en cada cas) és semblant, en un sentit intuïtiu. Podríem dir més formalment en termes de pegar dos rectangles [-1, 1] x I i [-1, 1] x J junts: el que realment necessitem són les dades per identificar [-1, 1] a si mateix directament en un extrem, i amb torçada en l'altre extrem. Aquestes dades es poden anotar com a funció d'enganxat, amb valors en G . La construcció del ' fibrat associat és precisament l'observació que aquestes dades treballen de la mateixa manera{-1, 1}quant en [-1, 1].

Cas general

En general és suficient per explicar la transició d'un fibrat amb la fibra F , en la qual G actua, al fibrat principal (és a dir el fibrat on la fibra és G, considerat actuant sobre si mateix per translació). Perquè llavors podem anar de F ₁ a F ₂ , via el fibrat principal. Els detalls en termes de les dades per a un cobriment obert es donen com a cas de descens.

Relació amb subgrups

Un cas molt útil és prendre un subgrup H de G . Llavors un H -fibrat té un G -fibrat associat: això és trivial per als fibrats, però mirar les seves seccions és essencialment la construcció de la representació induïda, sota un altre enfocament. Això suggereix que hi ha alguns funtores adjunts implicats.

Complexificando un fibrat vectorial real

Una aplicació és complexificar un fibrat vectorial real (segons el requerit per definir les classes de Pontryagin, per exemple). Si tenim un fibrat vectorial real V , i desitgem crear el fibrat associat amb fibres d'espai vectorial complex, hem de prendre H = GL _n ( R ) i G = GL _n ( C ), esquemàticament.

La reducció del grup d'estructura

El concepte company dels fibrats associats és l '' reducció del grup d'estructura d'un G -fibrat B . Preguntem si hi ha un H -fibrat C , tal que l G -fibrat associat és B , mòdul un isomorfisme. Més concretament, es pregunta si les dades de transició per B es poden escriure consistentment a valors en H . És a dir, demanem identificar la imatge del mapa fibrat associat (el qual és realment un functor).

Exemples de reducció de grup

Exemples per als fibrats vectorials inclouen: la introducció d'una mètrica (equivalentment, reducció a l'grup ortogonal de l ' GL _n ), i l'existència d'una estructura complexa en un fibrat real (de GL _{2 n} ( R ) a GL _n ( C )).

Un altre cas important és la reducció de GL _n ( R ) a GL _k ( R ) x GL _nk ( R ), l'últim interior al primer com matrius de bloc. Una reducció aquí és una manera consistent de prendre subespais complementaris k - i nk -dimensionals, és a dir trobant una descomposició d'un fibrat vectorial V com una suma de Whitney (suma directa) dels sub -fibrats de fibres de dimensions especificades.

Un pot també expressar la condició per a una foliació que es definirà com reducció del fibrat tangent a un subgrup de matrius de bloc - però aquí la reducció és només una condició necessària, havent-hi una condició d'integrabilitat de manera que s'apliqui el teorema de Frobenius.

Fibrats espinorials

El llenguatge de fibrats associats és útil per expressar el significat dels fibrats espinorials. Aquí els dos grups SO i Spin estan implicats (per a una elecció fixa de signatura ( p , q )), l'anterior tenint una representació fidel matricial de dimensió n = p q , però l'últim actuant (en general) fidelment només en una dimensió més alta, en un espai de espinor és. Spin és un "double cover" de SO , de manera que l'últim és un quocient del primer. Això significa que les dades de transició amb valors en Spin donen lloc a dades de transició per SO , automàticament: el passar a un grup quocient perd simplement informació. Per tant un Spin -fibrat dóna lloc sempre a un fibrat associat amb les fibres R ⁿ , ja que Spin actua en R ⁿ , via el seu quocient SO . Inversament, hi ha un problema d'aixecament per als SO -fibrats: hi ha un problema de consistència sobre les dades de transició, en passar a un Spin -fibrat. L'existència de tal estructura d'espín és informació addicional sobre un fibrat real vectorial.