Definició formal

modifica

Per a definir formalment un espai vectorial E sobre un cos K, es diu que:

Sigui K un cos (per exemple : el cos   dels nombres reals o el cos   dels nombres complexos). Un espai vectorial sobre el cos K és un conjunt E que amb les operacions de:

  • suma vectorial, escrita v + w on  
  • producte per un escalar, escrit av on aK; vE

satisfà les següents propietats:

  1. V amb la suma vectorial forma un grup abelià, és a dir, se satisfà que:
    1. v + wE.
    2. u + (v + w) = (u + v) + w, propietat associativa.
    3.   anomenat vector nul tal que v + 0 = 0 + v = v,  , és a dir, és l'element neutre de la suma vectorial.
    4.  ,   tal que v + (- v) = 0, és a dir, tot element té oposat (invers respecte de la suma).
    5. v + w = w + v, propietat commutativa.
  2. V amb el producte per un escalar satisfà que:
    1. avE.
    2. a ⋅ (bv) = (ab) ⋅ v.
    3. Si 1 denota l'element neutre del producte en el cos K, llavors 1 ⋅ v = v.
    4. a ⋅ (v + w) = (av) + (aw), propietat distributiva amb la suma de vectors.
    5. (a + b) ⋅ v = (av) + (bv).

Els elements de E s'anomenen vectors. S'acostumen a representar en negreta (v), tal i com s'ha fet en aquest article, amb una fletxa a sobre ( ) o subratllats ('v). Els elements de K s'anomenen escalars.

Aquests axiomes permeten plantejar la resta de vectors i la divisió d'un vector entre un escalar per mitjà de:

vw = v + (−1·w),
v / a = (1 / a) · v.

Contràriament a la intuïció que prové de vectors en el cas de l'espai euclidià pla i o de dimensions superiors, en espais vectorials generals no hi ha, cap noció de proximitat, angles o distàncies. Per tractar aquest tipus de qüestions, cal introduir tipus particulars d'espais vectorials amb estructures addicionals.