Velocitat d'escapament

La velocitat d'escapament o velocitat d'alliberament és la velocitat mínima que es necessita per poder escapar de l'atracció del camp gravitatori generat per un objecte qualsevol, en lloc de caure-hi a sobre una altra vegada o entrar en òrbita a una alçada concreta sobre la seva superfície, suposant convencionalment que aquest objecte no es veu afectat per cap altra força externa a part de la gravetat.

Fig. 1. Anàlisi de la velocitat d'escapament d'Isaac Newton. En augmentar la velocitat de la bala de canó, aquesta orbita cada cop més amunt fins que aconsegueix escapar de la gravetat terrestre (projectil E)

Si ho definim formalment, la velocitat d'escapament és la velocitat inicial que es necessita per anar des d'un punt inicial en un camp gravitatori (amb una energia potencial concreta) fins a l'infinit amb una velocitat residual igual a zero respecte al camp. Normalment el punt inicial es trobarà a la superfície d'un planeta o satèl·lit natural. Des de la superfície de la Terra la velocitat d'escapament és d'uns 11,2 km/s; en canvi, a 9.000 km d'altura a l'espai la velocitat d'escapament del nostre planeta és de només 7,1 km/s. A aquesta velocitat també se la denomina "segona velocitat còsmica".

Tots els objectes sobre la Terra tenen la mateixa velocitat d'escapament, independentment de la massa que tinguin. El que és diferent segons cada objecte és la quantitat d'energia necessària per accelerar la massa fins a assolir la velocitat d'escapament. Com més massiu sigui l'objecte més energia es necessitarà per aconseguir la velocitat necessària per escapar de la gravetat terrestre.

Si bé la velocitat d'escapament és sempre la mateixa, la velocitat d'escapament "relativa a la superfície" d'un cos en rotació com la Terra, depèn de la direcció a la qual viatja l'objecte. Per exemple, donat que la velocitat de rotació de la Terra a l'equador és d'uns 465 m/s cap a l'est, un coet llançat tangencialment en direcció est necessita una velocitat d'aproximadament 10.735 km/s "respecte a la superfície" de la terra per assolir la velocitat d'escapament, mentre que si el llancem en direcció oest la velocitat que necessitarem serà d'uns 11.665 km/s. Donat que la velocitat de rotació terrestre disminueix, partint de l'equador, a mesura que ens desplacem cap al nord o cap al sud (augmenta la latitud), els emplaçaments per al llançament de coets s'intenta que siguin tan a prop de l'equador com sigui possible. Així la zona de llançaments de l'ESA (Agència Espacial Europea) es troba a la Guaiana Francesa, a només 5 graus al nord de l'equador.

A causa de l'existència d'atmosfera al nostre planeta no és possible accelerar un objecte a 11,2 km/s prop de la superfície. Aquestes velocitats són molt lluny de les possibilitats de la majoria de sistemes de propulsió hipersònics actuals, i probablement causarien la ignició de l'objecte en qüestió a causa del fregament atmosfèric. Actualment, el sistema que utilitzen les naus i sondes espacials consisteix a col·locar-les prèviament en una òrbita terrestre baixa (LEO, Low Earth Orbit, en anglès) i després accelerar-les fins a la velocitat d'escapament, que en aquesta alçada és d'aproximadament 10,9 km/s, partint aleshores dels 8 km/s que les naus acostumen a dur en aquest tipus d'òrbita.

ConcepteModifica

El concepte de velocitat de fuita tal com s'ha definit no és aplicable al càlcul de la velocitat inicial, o de llançament, de mòbils que es mouen sota la influència d'altres forces que afavoreixen el seu moviment, per exemple, la propulsió, o que s'oposen a aquest, per exemple, la resistència de l'aire. Però sí quan aquestes altres forces estan absents, tal com succeeix en la situació habitual de naus sense propulsió per sobre de l'atmosfera. En l'astronàutica, en qualsevol cas, la velocitat de fuita rares vegades és la velocitat objectiu fins a la qual han d'accelerar-se les naus per a solcar l'espai. Es tracta, per contra, d'un límit superior a l'interval de velocitats que és necessari aconseguir una vegada fora de l'atmosfera per a iniciar el viatge espacial. D'aquesta manera, la velocitat de fuita rep el nom de segona velocitat còsmica, sent el límit inferior, o primera velocitat còsmica, la mínima necessària per a entrar en òrbita circular al voltant de l'astre, també coneguda com a velocitat circular.

En el tercer volum dels Principis de Newton (De Mundi Systemate) el científic anglès presenta el concepte de velocitat de fuita mitjançant un exemple amb un canó que dispara projectils des del cim d'una muntanya (veure figura 1 d'aquest article), exemple en el qual es prescindeix de la resistència aerodinàmica. Quan el projectil es llança a una velocitat inferior a la velocitat circular, aquest col·lideix contra la Terra seguint una trajectòria parabòlica (cas A,B). Quan el projectil es llança a una velocitat igual a la seva velocitat circular, aquest entra en òrbita al voltant de la Terra seguint una trajectòria amb forma de circumferència (cas C). Quan el projectil es llança a una velocitat superior a la velocitat circular però inferior a la de fuita, aquest entra en òrbita al voltant de la Terra seguint una trajectòria el·líptica, en la qual la Terra ocupa el primer focus (cas D). Quan el projectil es llança a una velocitat igual a la de fuita, el segon focus d'aquesta el·lipse es troba en l'infinit i, en conseqüència, es tracta d'una paràbola. Quan el projectil es llança a una velocitat superior a la de fuita, aquest segueix una òrbita oberta anomenada hipèrbola (tots dos casos, trajectòria E).

La velocitat de fuita depèn de la forma del potencial gravitatori en què es troba l'objecte, per la qual cosa el plantejament seria lleugerament diferent si aquest és impulsat des de l'interior o l'exterior de l'astre al qual es troba vinculat. En l'exterior de l'astre la velocitat de fuita pot expressar-se explícitament en funció de l'altura h sobre la seva superfície mitjançant la següent equació on R és el radi de l'astre (r = R + h)

La velocitat de fuita des de la superfície de la Terra és 11,19 km/s. A 200 km d'altura sobre el nivell mitjà de la mar, altitud que defineix l'òrbita terrestre estable més baixa, és de 11,02 km/s. En aquest punt val la pena indicar que la velocitat de fuita del Sol a la distància de la Terra (una unitat astronòmica) és de 42,04 km/s, això és gairebé 4 vegades la velocitat de fuita de la pròpia Terra. Així, un cos projectat per sobre de l'atmosfera a una velocitat superior a la velocitat de fuita de la Terra però inferior a la del Sol a una unitat astronòmica de distància escaparia de l'atracció terrestre però no de la del Sol. Quedaria, per tant, en òrbita al voltant del Sol.

Càlcul de la velocitat d'escapamentModifica

Per calcular la velocitat d'escapament d'un objecte qualsevol de massa m es considera que l'energia cinètica d'aquest cos ha d'igualar l'energia potencial gravitatòria que el lliga al cos celeste, de massa M. Qualsevol energia cinètica igual o superior a aquesta permetrà escapar de l'atracció gravitatòria:

 

aïllant d'aquí la ve:

 

on


Cal destacar -com ja s'ha dit- que el valor de la velocitat d'escapament no depèn de la massa m de l'objecte; només depèn de la massa del cos celeste: augmenta amb la massa d'aquest i disminueix a mesura que ens allunyem del seu centre.

Múltiples fonts gravitatòriesModifica

La velocitat d'escapament des d'una posició en un camp gravitatori amb múltiples orígens es deriva de la quantitat total d'energia potencial per kg en aquesta posició concreta relativa a l'infinit. L'energia potencial generada per totes les fonts en el punt concret es poden sumar simplement. La velocitat d'escapament resultarà ser l'arrel quadrada de la suma dels quadrats de les velocitats d'escapament individuals de totes les fonts.

Per exemple, des de la superfície de la Terra, la velocitat d'escapament per a la combinació Terra i Sol és  . D'aquí es desprèn que la velocitat necessària per a abandonar el sistema solar és de 13,6 km/s relativa a la Terra en la direcció de l'òrbita terrestre, ja que a aquesta velocitat cal sumar-hi els 30 km/s que representen la velocitat orbital de la Terra al voltant del Sol.

Llista de velocitats d'escapamentModifica

 
Per abandonar la Terra es requereix una velocitat d'11,2 km/s
  Ubicació   Respecte a Ve       Ubicació   Respecte a Ve
Al Sol, la gravetat solar: 617,5 km/s
A Mercuri, la gravetat de Mercuri: 4,4 km/s a Mercuri, la gravetat del Sol: 67,7 km/s
A Venus, la gravetat de Venus: 10,4 km/s a Venus, la gravetat del Sol: 49,5 km/s
A la Terra, la gravetat terrestre: 11,2 km/s a la terra/lluna, la gravetat del Sol: 42,1 km/s
A la Lluna, la gravetat lunar: 2,4 km/s a la lluna, la gravetat terrestre: 1,4 km/s
A Mart, la gravetat marciana: 5,0 km/s a Mart, la gravetat del Sol: 34,1 km/s
A Júpiter, la gravetat de Júpiter: 59,5 km/s a Júpiter, la gravetat del Sol: 18,5 km/s
A Saturn, la gravetat de Saturn: 35,5 km/s a Saturn, la gravetat del Sol: 13,6 km/s
A Urà, la gravetat d'Urà: 21,3 km/s a Urà, la gravetat del Sol: 9,6 km/s
A Neptú, la gravetat de Neptú: 23,5 km/s a Neptú, la gravetat del sol: 7,7 km/s
al sistema solar,   la gravetat de la Via Làctia:   ~1000 km/s[1]

Vegeu tambéModifica

  1. «Solar System Data». Georgia State University. [Consulta: 21 gener 2007].