Obre el menú principal

ZFC és el conjunt d'axiomes canònic de la Teoria de conjunts. El seu nom es deu als matemàtics que la van desenvolupar: Ernst Zermelo i Abraham Fraenkel i la C per la inclusió de l'axioma d'elecció (Choice en anglès). Existeixen altres conjunts d'axiomes de la Teoria de Conjunts com el NBG (von Newmann, Bernays, Gödel), el TG (Tarski, Grothendieck) i el MK (Morse, Kelley), però són extensions conservadora, no conservadora i pròpia, respectivament, de ZFC.

El conjunt d'axiomesModifica

La teoria axiomàtica de conjunts es desenvolupa en el marc de la lògica de primer ordre, amb els seus símbols habituals de connectives (  ) i de quantificadors (   ), més el predicat d'igualtat ( ) i una relació binària de pertinença ( ). Denotem amb majúscules els conjunts i amb minúscules els elements d'un conjunt (que, òbviament, poden ser altres conjunts). Existeixen diverses formalitzacions equivalents dels axiomes; seguim la proposada per Thomas Jech.[1]

1 Axioma d'extensionalitatModifica

Article principal: Axioma d'extensionalitat

Si   i   tenen els mateixos elements, aleshores  .

Formalment:

 

L'axioma expressa la idea bàsica que un conjunt està determinat pels seus elements.[2]

2 Axioma del parellModifica

Per a qualsevol   i   existeix un conjunt   que conté exactament   i  

Formalment:

 

Per l'axioma d'extensionalitat, el conjunt   és únic. D'altra banda, com que   podem definir també el parell ordenat:   que satisfà la condició  .[3] De la mateixa forma es poden definir n-ples, és a dir, triples, quadrúples, etc.

3 Axioma de separacióModifica

Si   és una propietat (amb paràmetre  ), aleshores per a tot   i   existeix un conjunt   que conté tots els   que tenen la propietat  

Formalment:

 

Cal tenir en compte que per a cada fórmula  , la fórmula anterior és un axioma. Per això a vegades se l'anomena esquema d'axioma de separació.

Una conseqüència directa de l'axioma de separació, és que la intersecció i la resta de dos conjunts és un altre conjunt i es poden definir les operacions:   i  .

4 Axioma de la unióModifica

Article principal: Axioma de la unió

Per a tot   existeix un conjunt  , unió de tots els elements de  

Formalment

 

Per extensionalitat el conjunt   és únic.

5 Axioma del conjunt potènciaModifica

Per a tot   existeix el conjunt potència  , que és el conjunt format per tots els subconjunts de  

Formalment:

 

Un conjunt   és un subconjunt de  , ( ) si  .

Quan   i   diem que   és un subconjunt propi de  .

6 Axioma de l'infinitModifica

Article principal: Axioma de l'infinit

Existeix un conjunt infinit.

Formalment:

 

Aquest axioma evita un altre axioma, que seria bàsic, postulant l'existència de, com a mínim, un conjunt.

La combinació d'aquest axioma amb l'axioma del conjunt potència, implica l'existència d'infinits conjunts infinits diferents, ja que el conjunt potència del conjunt infinit és un altre conjunt infinit de cardinalitat estrictament superior. I així successivament.

7 Axioma de reemplaçamentModifica

Article principal: Axioma de reemplaçament

Si una classe   és una funció, aleshores per a tot   existeix un conjunt  

Formalment:

 

Com en el cas de l'axioma de separació, per a cada funció  , la fórmula anterior és un axioma, per això se l'anomena esquema d'axioma de reemplaçament.

8 Axioma de regularitatModifica

Article principal: Axioma de regularitat

Tot conjunt no buit té un element minimal per ∈.

Formalment:

 

Com a conseqüència no existeix la seqüència infinita  . En particular, no existeix cap conjunt tal que   i no existeixen cicles:  .

9 Axioma d'eleccióModifica

Article principal: Axioma de l'elecció

Tota família de conjunts no buits té una funció d'elecció que permet seleccionar un element de cada conjunt.

Al contrari que els axiomes anteriors, aquest axioma postula l'existència d'un conjunt sense definir-lo:[4] si   és una família de conjunts i  , aleshores una funció d'elecció per a   és una funció que satisfà:  .

Aquest axioma permet demostrar que tot conjunt pot ser ben ordenat i, aleshores, tot conjunt infinit té cardinalitat igual a algun  .

L'axioma va ser utilitzat per primer cop per Zermelo l'any 1904 per a demostrar el teorema del bon ordre i va crear una controvèrsia generalitzada sobre la seva validesa.[5]

HistòriaModifica

Tot i que es poden trobar antecedents en les obres de diferents matemàtics alemanys com Bolzano (el primer a utilitzar la paraula conjunt, menge en alemany), Riemann[6] o Dedekind,[7] la teoria de conjunts va ser pràcticament creació d'una sola persona, Georg Cantor, qui, a partir de 1879, la va anar desenvolupant en una sèrie d'articles i publicacions, especialment en els seus tractats de 1895 i 1897. Aquesta teoria va ser aviat objecte de crítiques perquè conduïa a contradiccions (paradoxes de Russell (1902), de Burali-Forti (1897) o de Banach-Tarski (1924). Aquestes contradiccions obligaven a axiomatitzar la teoria de forma suficientment precisa perquè no conduís a contradiccions (perquè fos consistent).

Per arribar a una axiomatització precisa va caldre, no obstant, esperar a les contribucions de Zermelo de 1904 (demostració del teorema del bon ordre) i, sobretot, de 1908.[8] Aquestes van ser posteriorment ampliades i sistematitzades per Fraenkel[9] i Skolem[10] en el que avui es coneix com a teoria ZFC.

ReferènciesModifica

  1. Jech, 2003, p. 3.
  2. Jech, 2003, p. 6.
  3. Jech, 2003, p. 7.
  4. Jech, 2003, p. 47.
  5. Herrlich, 2006, p. 5.
  6. Ferreirós, 2007, p. 39 i següents.
  7. Ferreirós, 2007, p. 81 i següents.
  8. Ferreirós, 2007, p. 317 i següents.
  9. Ferreirós, 2007, p. 366 i següents.
  10. Ferreirós, 2007, p. 357 i següents.

BibliografiaModifica