Cúbica torçada

En matemàtiques, un cúbica torçada és una corba racional derivable C de grau tres a l' espai projectiu P3. És un exemple fonamental d'una corba torçada. És essencialment única, tret d'una transformació projectiva (és a dir, la cúbica torçada). Generalment es considera que és l'exemple més senzill d'una varietat projectiva que no és ni lineal ni una hipersuperfície, i es classifica com a tal a la majoria de llibres de text de geometria algebraica. És el cas tridimensional de la corba normal racional, i és la imatge d'una superfície de Veronese de grau tres a la recta projectiva.

DefinicióModifica

El més sezill és definir-la de forma paramètrica com la imatge de l'apicació

 

la qual assigna a la coordenades homogènies  el valor

 

Dins un atles de l'espai projectiu, l'aplicació és senzillament la corba de moment

 

És a dir, és la clausura per un únic punt a l'infinit de la corba afí  .

De forma equivalent, és una varietat projectiva, definida com el zero de tres quàdriques derivables. Donades les coordenades homogènies [X:Y:Z:W] de P3, és el zero dels tres polinomis homogenis

 
 
 

Es pot comprovar que aquestes tres formes quadràtiques esdevenen idènticament nul·les quan es fa servir la parameterització explícita de dalt; allò és, substituint x3 per X, etcètera.

De fet, l'ideal homogeni de la cúbica torçada C és generat per tres formes algebraiques de grau dos de P3. Els generadors de l'ideal són

 

PropietatsModifica

La cúbica torçada té un assortiment de propietats elementals:

  • És el conjunt-teorètic del la intersecció completa de XZ-Y² i  , però no una intersecció completa esquema-teorètica o ideal-teorètica (l'ideal que en resulta no és radical, donat que conté   però no conté  ).
  • Donats quatre punts qualssevol de C generen tot P3.
  • Donats sis punts de P3 sense que n'hi hagi quatre de coplanars, hi ha una única cúbica torçada que hi passa.
  • La projecció de C sobre un pla a partir d'un punt sobre una línia tangent a C dona una cúbica cuspidal.
  • La projecció a partir d'un punt sobre una línia secant a C dona una cúbica nodal.
  • La projecció a partir d'un punt sobre C dona una secció cònica.

BibliografiaModifica

  • Harris, Joe. Algebraic Geometry, A First Course. Nova York: Springer-Verlag, 1992. ISBN 0-387-97716-3.