Cúpula pentagonal

En geometria, la cúpula pentagonal es pot construir tallant una llesca d'un petit rombi-cosidodecàedre. És un dels noranta-dos sòlids de Johnson (J₅). Té simetria C_5v.

Cúpula pentagonal

Model 3D
Tipus	Sòlid de Johnson
Forma de les cares	Triangles equilàters quadrats, un pentàgon i un decàgon
Configuració de vèrtex	triangle i trapezi
Símbol de Schläfli	{5}||t{5}
Cares per vèrtex	3 i 4
Vèrtexs per cara	3, 4, 5 i 10
Simetria	C5v
Dual	-
Propietats	Convex
Elements
Cares	12
Arestes	25
Vèrtexs	15
Característica	2
Més informació
MathWorld	PentagonalCupola

Model 3D de la cúpula pentagonal.

Els 92 sòlids de Johnson van ser descrits 1966 per Norman Johnson i els va numerar. No va demostrar que no n'existia més que 92, però va conjecturar que no n'hi havia d'altres. Victor Zalgaller el 1969 va demostrar que la llista de Johnson era completa. S'utilitzen els noms i l'ordre donats per Johnson, i se'ls nota J_xx on xx és el nombre donat per Jonson.

Fórmules

• L'àrea de la cúpula pentagonal de costat $L$ és

$A={\frac {L^{2}}{4}}\cdot \left(20+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {725+310{\sqrt {5}}}}\right)\approx L^{2}\cdot 16.57975$

• El volum de la cúpula pentagonal de costat $L$ és

$V={\frac {L^{3}}{6}}\cdot (5+4{\sqrt {5}})\approx L^{3}\cdot 2.32405$

• L'altura de la cúpula pentagonal de costat $L$ és

$h=L\cdot {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\approx L\cdot 0.52573$

• El circumradi de la cúpula pentagonal de costat $L$ és

$R=L\cdot \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}\right)\approx L\cdot 2.23295$

Desenvolupament pla

Desenvolupament pla de la cúpula pentagonal

Referències

• Victor A. Zalgaller, "Convex Polyhedra with Regular Faces", 1969 : primera demostració d'aquesta conjectura.
• Eric W. Weisstein. Johnson Solid : cada sòlid amb el seu desenvolupament

Vegeu també

• Políedre arquimedià
• Políedre de Catalan
• Políedre regular
• Sòlid platònic

Enllaços externs

• Weistein, Eric W., pentagonal cupola Arxivat 2009-09-24 a Wayback Machine. cúpula pentagonal a MathWorld. (anglès)
• Weistein, Eric W., Johnson solid Sòlid s de Johnson a MathWorld. (anglès)