Sòlid de Johnson

En geometria, un sòlid de Johnson és un políedre estrictament convex tal que totes les seves cares són polígons regulars però que no és ni un sòlid platònic, ni un sòlid arquimedià, ni un prisma ni un antiprisma. No cal que cada cara sigui un polígon idèntic, o que els mateixos polígons es trobin al voltant de cada vèrtex. Un exemple de sòlid de Johnson és la piràmide de base quadrada amb costats triangulars equilàters (J1); té una cara quadrada i quatre cares triangulars.

La girobicúpula quadrada allargada (J37), és un sòlid de Johnson.
Aquest cub compost de 24 cares quadrades no és un sòlid de Johnson perquè no és estrictament convex (té angles diedres iguals a zero.
Aquest exemple a 24 triangles no és un sòlid de Johnson perquè és còncau.

Com que és un sòlid estrictament convex pel capbaix tres cares s'han de trobar a cada vèrtex i la suma dels seus angles ha de ser menor que 360 graus. Ja que tot polígon regular té angles superiors o iguals a 60 graus (cas del triangle equilàter és 60 graus i tots els altres és més), se'n dedueix que cinc cares el màxim que es poden trobar en un vèrtex qualsevol. La piràmide pentagonal (J2) és un exemple que té un vèrtex de grau 5.

Encara que no existeixi restricció evident perquè un polígon regular qualsevol pugui ser una cara d'un sòlid de Johnson, es troba que les cares dels sòlids de Johnson tenen sempre 3, 4, 5, 6, 8 o 10 costats. És a dir no hi ha cap sòlid de Jonson que tingui una cara que sigui un polígon ni de 7 ni de 9 ni de més de 10 costats.

El 1966, Norman Johnson va publicar una llista que incloïa els 92 sòlids, i els va donar els seus noms i els seus nombres. No va demostrar que no n'existia més que 92, però va conjecturar que no n'hi havia d'altres. Victor Zalgaller el 1969 va demostrar que la llista de Johnson era completa. S'utilitzen els noms i l'ordre donats per Johnson, i se'ls anota Jxx on xx és el nombre donat per Johnson.

Dels sòlids de Johnson, la girobicúpula quadrada allargada (J37) és l'únic que és de vèrtexs uniformes: incideixen quatre cares a cada vèrtex, i el seu arranjament és sempre el mateix: tres quadrats i un triangle.

NomsModifica

Els noms es llisten davall i són força descriptius. Molts d'aquests sòlids es poden construir afegint piràmides, cúpules i rotondes sobre cares de sòlids platònics, sòlids arquimedians, de prismes o d'antiprismes.

  • El prefix Bi- vol dir que s'ajunten base sobre base dues còpies del sòlid en qüestió. Per a les cúpules i les rotondes, es poden ajuntar de forma que les cares es trobin (orto-) o no (giro-). En aquesta nomenclatura, un octàedre s'anomenaria una bipiràmide quadrada, un cuboctaèdre s'anomenaria una girobicúpula hexagonal i un icosidodécaèdre una girobirotonda decagonal.
  • Allargat vol dir que s'ha ajuntat un prisma a la base del sòlid en qüestió o entre les bases dels sòlids en qüestió. Un rombicuboctàedre s'anomenaria una ortobicúpula octogonal allargada.
  • Giroallargat significa que s'ha ajuntat un antiprisma a la base del sòlid en qüestió o entre les bases dels sòlids en qüestió. Un icosàedre s'anomenaria una bipiràmide pentagonal giroallargada.
  • Augmentat significa que s'ha ajuntat una piràmide o una cúpula a una cara del sòlid en qüestió.
  • Disminuït significa que s'ha tret una piràmide o una cúpula del sòlid en qüestió.
  • Gir significa que una cúpula sobre el sòlid en qüestió ha sofert una rotació tal que les diferents arestes coincideixen, com per a la diferència entre orto i giro bicúpules.

Les tres últimes operacions - augment, disminució i gir - es poden executar més d'una vegada sobre un sòlid prou gran. S'afegeix bi- al nom de l'operació per indicar que s'ha executat dues vegades. (Un sòlid bigirat té dues de les seves cúpules que han experimentat una rotació). S'afegeix tri- per indicar que s'ha executat tres vegades. (Un sòlid tridisminuit té tres de les seves piràmides o cúpules eliminades).

A vegades, bi- tot sol no és prou precís. S'ha de distingir entre un sòlid que té dues cares paral·leles alterades i un que té dues cares obliqües alterades. Quan les dues cares alterades són paral·leles, s'afegeix para- al nom de l'operació. (Un sòlid parabiaugmentat té dues cares paral·leles augmentades). Quan no ho són, s'afegeix meta- al nom de l'operació. (Un sòlid metabiaugmentat té dues cares obliqües augmentades).

Llista i noms dels políedres de JohnsonModifica

A les taules es fan servir les següents abreviatures:

V : nombre de vèrtexs,
A : nombre d'arestes,
C : nombre total de cares, on:
C3 triangles,
C4 quadrats,
C5 Pentàgons,
C6 hexàgons,
C8 octògons,
C10 decàgons.

Prismatoides i rotondesModifica

Els poden classificar en:

Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C3 C4 C5 C6 C8 C10 Simetria
1 Piràmide quadrada     5 8 5 4 1 C4v
2 Piràmide pentagonal     6 10 6 5 1 C5v
3 Cúpula triangular     9 15 8 4 3 1 C3v
4 Cúpula quadrada     12 20 10 4 5 1 C4v
5 Cúpula pentagonal     15 25 12 5 5 1 1 C5v
6 Rotonda pentagonal     20 35 17 10 6 1 C5v

Piràmides modificades i bipiràmidesModifica

Es poden classificar en:

Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C3 C4 C5 C6 C8 C10 Simetria
7 Piràmide triangular allargada     7 12 7 4 3 C3v
8 Piràmide quadrada allargada
o (cub augmentat)
o (prisma quadrat augmentat)
    9 16 9 4 5 C4v
9 Piràmide pentagonal allargada     11 20 11 5 5 1 C5v
10 Piràmide quadrada giroallargada     9 20 13 12 1 C4v
11 Piràmide pentagonal giroallargada
o (icosàedre disminuït)
    11 25 16 15 1 C5v
12 Bipiràmide triangular     5 9 6 6 D3h
13 Bipiràmide pentagonal     7 15 10 10 D5h
14 Bipiràmide triangular allargada     8 15 9 6 3 D3h
15 Bipiràmide quadrada allargada
o (biaugmentat cub)
o (biaugmentat prisma quadrat)
    10 20 12 8 4 D4h
16 Bipiràmide pentagonal allargada     12 25 15 10 5 D5h
17 Bipiràmide quadrada giroallargada     10 24 16 16 D4d

Cúpules i rotondes modificadesModifica

Es poden classificar en:

  • cúpules allargades
  • rotondes allargades
  • birotondes allargades
  • coupolo-rotondes allargades
  • bicúpules allargades
  • cúpules giroallargades
  • rotondes giroallargades
  • bicúpules
  • birotondes
  • coupulo-rotondes
  • bicúpules giroallargades
  • birotondes giroallargades
  • coupolo-rotondes giroallargades
Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C3 C4 C5 C6 C8 C10 Simetria
18 Cúpula triangular allargada     15 27 14 4 9 1 C3v
19 Cúpula quadrada allargada
(rombicudodecàedre disminuït)
    20 36 18 4 13 1 C4v
20 Cúpula pentagonal allargada     25 45 22 5 15 1 1 C5v
21 Rotonda pentagonal allargada     30 55 27 10 10 6 1 C5v
22 Cúpula triangular giroallargada     15 33 20 16 3 1 C3v
23 Cúpula quadrada giroallargada     20 44 26 20 5 1 C4v
24 Cúpula pentagonal giroallargada     25 55 32 25 5 1 1 C5v
25 Rotonda pentagonal giroallargada     30 65 37 30 6 1 C5v
26 Girobiprisma triangular     8 14 8 4 4 D2d
27 Ortobicúpula triangular
(cubooctàedre girat)
    12 24 14 8 6 D3h
28 Ortobicúpula quadrada     16 32 18 8 10 D4h
29 Girobicúpula quadrada     16 32 18 8 10 D4d
30 Ortobicúpula pentagonal     20 40 22 10 10 2 D5h
31 Girobicúpula pentagonal     20 40 22 10 10 2 D5d
32 Ortocupulorotonda pentagonal     25 50 27 15 5 7 C5v
33 Girocupulorotonda pentagonal     25 50 27 15 5 7 C5v
34 Ortobirotonda pentagonal
(icosidodecàedre girat)
    30 60 32 20 12 D5h
35 Ortobicúpula triangular allargada     18 36 20 8 12 D3h
36 Girobicúpula triangular allargada     18 36 20 8 12 D3d
37 Girobicúpula quadrada allargada
(rombicudodecàedre girat)
    24 48 26 8 18 D4d
38 Ortobicúpula pentagonal allargada     30 60 32 10 20 2 D5h
39 Girobicúplula pentagonal allargada     30 60 32 10 20 2 D5d
40 Ortocúpulorotonda pentagonal allargada     35 70 37 15 15 7 C5v
41 Girocúpulorotonda pentagonal allargada     35 70 37 15 15 7 C5v
42 Ortobirotonda pentagonal allargada     40 80 42 20 10 12 D5h
43 Girobirotonda pentagonal allargada     40 80 42 20 10 12 D5d
44 Bicúpula triangular giroallargada
(2 formes quirals)
    18 42 26 20 6 D3
45 Bicúpula quadrada giroallargada
(2 formes quirals)
    24 56 34 24 10 D4
46 Bicúpula pentagonal giroallargada
(2 formes quirals)
    30 70 42 30 10 2 D5
47 Cúpulorotonda pentagonal giroallargada
(2 formes quirals)
    35 80 47 35 5 7 C5
48 Birotonda pentagonal giroallargada
(2 formes quirals)
    40 90 52 40 12 D5

Prismes augmentatsModifica

Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C3 C4 C5 C6 C8 C10 Symmetry
49 Prisma triangular augmentat     7 13 8 6 2 C2v
50 Prisma triangular biaugmentat     8 17 11 10 1 C2v
51 Prisma triangular triaugmentat     9 21 14 14 D3h
52 Prisma pentagonal augmentat     11 19 10 4 4 2 C2v
53 Prisma pentagonal biaugmantat     12 23 13 8 3 2 C2v
54 Prisma hexagonal augmentat     13 22 11 4 5 2 C2v
55 Prisma hexagonal parabiaugmentat     14 26 14 8 4 2 D2h
56 Prisma hexagonal metabiaugmantat     14 26 14 8 4 2 C2v
57 Prisma hexagonal triaugmentat     15 30 17 12 3 2 D3h

Sòlids platònics modificatsModifica

  • Dodecàedres augmentats
  • Icosàedres disminuïts
Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C3 C4 C5 C6 C8 C10 Simetria
58 Dodecàedre augmentat     21 35 16 5 11 C5v
59 Dodecàedre parabiaugmentat     22 40 20 10 10 D5d
60 Dodecàedre metabiaugmentat     22 40 20 10 10 C2v
61 Dodecàedre triaugmentat     23 45 24 15 9 C3v
62 Icosàedre metabidismminuït     10 20 12 10 2 C2v
63 Icosàedre tridisminuït     9 15 8 5 3 C3v
64 Icosàedre tridisminuït augmentat     10 18 10 7 3 C3v

Sòlids arquimedians modificatsModifica

S'obtenen a partir de:

Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C3 C4 C5 C6 C8 C10 Simetria
65 Tetràedre truncat augmentat     15 27 14 8 3 3 C3v
66 Cub truncat augmentat     28 48 22 12 5 5 C4v
67 Cub truncat biaugmentat     32 60 30 16 10 4 D4h
68 Dodecàedre truncat augmentat     65 105 42 25 5 1 11 C5v
69 Dodecàedre truncat parabiaugmentat     70 120 52 30 10 2 10 D5d
70 Dodecàedre truncat metabiaugmentat     70 120 52 30 10 2 10 C2v
71 Dodecàedre truncat triaugmentat     75 135 62 35 15 3 9 C3v
72 Romboicosidodecàedre girat     60 120 62 20 30 12 C5v
73 Romboicosidodecàedre parabigirat     60 120 62 20 30 12 D5d
74 Romboicosidodecàedre metabigirat     60 120 62 20 30 12 C2v
75 Romboicosidodecàedre Trigirat     60 120 62 20 30 12 C3v
76 Romboicosidodecàedre disminuït     55 105 52 15 25 11 1 C5v
77 Romboicosidodecàedre disminuït paragirat     55 105 52 15 25 11 1 C5v
78 Romboicosidodecàedre disminuït metagirat     55 105 52 15 25 11 1 Cs
79 Romboicosidodecàedre disminuït bigyiat     55 105 52 15 25 11 1 Cs
80 Romboicosidodecàedre parabidisminuït     50 90 42 10 20 10 2 D5d
81 Romboicosidodecàedre metabidisminuït     50 90 42 10 20 10 2 C2v
82 Romboicosidodecàedre bidisminuït girat     50 90 42 10 20 10 2 Cs
83 Romboicosidodecàedre tridisminuït     45 75 32 5 15 9 3 C3v

DiversosModifica

Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C3 C4 C5 C6 C8 C10 Simetria
84 Bisfenoide xato
(Dodecàedre siamès)
    8 18 12 12 D2d
85 Atiprisma quadrat xato     16 40 26 24 2 D4d
86 Esfenocorona     10 22 14 12 2 C2v
87 Esfenocorona augmentada     11 26 17 16 1 Cs
88 Esfenomegacorona     12 28 18 16 2 C2v
89 Hebesfenomegacorona     14 33 21 18 3 C2v
90 Disfenocíngol     16 38 24 20 4 D2d
91 Birotonda billunar     14 26 14 8 2 4 D2h
92 Hebesfenorotonda triangular     18 36 20 13 3 3 1 C3v

ReferènciesModifica

  • Norman W. Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pages 169–200. Conté l'enumeració original dels 92 sòlids i la conjectura que no n'hi ha d'altres.
  • Victor A. Zalgaller, "Convex Polyhedra with Regular Faces", 1969 : primera demostració d'aquesta conjectura.
  • Eric W. Weisstein. Johnson Solid : cada sòlid amb el seu desenvolupament

Enllaços externsModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Sòlid de Johnson