Cúpula (geometria)

En geometria, una cúpula és un sòlid format ajuntant dos polígons, un (la base) amb el doble d'arestes que l'altre, i per una banda alternada de triangles i de rectangles. Si els triangles són equilaterals i els rectangles són quadrats, mentre que la base i la seva cara oposada són polígons regulars, llavors la cúpula és un sòlid de johnson. Les cúpules triangular, quadrada i pentagonal poden ser formades prenent seccions del cuboctaèdre, del petit rhombicuboctaèdre i del petit rhombicosidodécaèdre, respectivament.

Coupola decagonal

Tipus	prismatoide i políedre convex
Forma de les cares	1 n-gone 1n triangles n carrés 2n-gone
Simetria	Cnv
Propietats	convexe
Elements
Cares	2n+2
Arestes	5n
Vèrtexs	3n
Més informació
MathWorld	Cupola

L'alçada d'una cúpula 2n-gonal és igual a l'alçada d'una piràmide n-gonal (aquesta regla també és certa per als casos extrems del prisma triangular i de la cúpula dodecagonal).

Una cúpula pot ser vista com un prisma, en què un dels polígons ha estat reduït a un de la meitat de costats fusionant vèrtx alterns. Les cúpules són una subclasse dels prismatoïdes.

Exemples

El prisma triangular és també una cúpula quadrada.	La cúpula triangular amb cares regulars (J3).
La cúpula octogonal amb cares regulars (J4).	La cúpula decagonal amb cares regulars (J5).

«Cúpules dodecagonals» planes en un dels 8 paviments semiregulars.

Els tres políedres esmentats més amunt són les úniques cúpules no trivials amb cares regulars: la «cúpula dodecagonal» és una figura plana, i el prisma triangular pot ser considerat com una «cúpula» de grau 2 (la cúpula d'un segment i d'un quadrat). No obstant això, les cúpules de polígons de graus més elevats poden ser construïdes amb cares triangulars i rectangulars irregulars.

Coordenades dels vèrtexs

La definició d'una cúpula no requereix que la base sigui un polígon regular (o el costat oposat a la base que es pot anomenar sostre), però és pràctic considerar el cas en què la cúpula posseeix la seva simetria màxima, C_nv. En aquest cas, el sostre és un n-gon regular, mentre que la base sigui un 2n-gon regular o un 2n-gon que posseeix dues longituds de costat diferents que s'alternen i els mateixos angles que un 2n-gon regular. És pràctic fixar el sistema de coordenades tal que la base sigui col·locada en el pla xy, amb el sostre en un pla paral·lel al pla xy. Els plans de simetria especular passen a través de l'eix z i comparteixen els costats de la base. Parteixen també ja sigui els costats o els vèrtexs del sostre o tots dos (si no és parell, la meitat dels plans de simetria especular parteixen els costats del polígon del sostre i la meitat parteix els vèrtexs, si és senar, cada pla de simetria especular parteix un costat i un angle del polígon del sostre). El vèrtex de la base poden ser designats per V₁ fins a V_2n, mentre que els vèrtexs del polígon del sostre poden ser designats per V_2n+1 fins a V_3n. Amb aquestes convencions, les coordenades dels vèrtexs poden ser escrites com:

V_2j-1: (r_bcos [2π(j-1)/n + α], r_bsin [2π(j-1)/n + α], 0) (on j=1, 2, …, n);
V_2j: (r_bcos (2πj/n - α), r_bsin (2πj/n - α), 0) (on j=1, 2, …, n);

V_2n+j: (r_tcos (πj/n), r_tsin (πj/n), h) (on j=1, 2, …, n),

ja que els polígons V₁V₂V_2n+1V_2n+2, etc. són rectangles, això imposa una restricció sobre els valors de r_b, r_t i α. La distància V₁V₂ és igual a:

r_b{[cos (2π/n - α) – cos α]² + [sin (2π/n - α) - sin α] ²}^1/2
= r_b{[cos ² (2π/n - α) – 2cos (2π/n - α)cos α + cos² α] + [sin ² (2π/n - α) – 2 sin (2π/n - α)sin α + sin ²α]}^1/2
= r_b{2[1 – cos (2π/n - α)cos α – sin (2π/n - α)sin α]}^1/2
= r_b{2[1 – cos (2π/n - 2α)]}^1/2,

mentre que la distància V_2n+1V_2n+2 és igual a:

r_t{[cos (π/n) – 1]² + sin²(π/n)}^1/2
= r_t{[cos² (π/n) – 2cos (π/n) + 1] + sin²(π/n)}^1/2
= r_t{2[1 – cos (π/n)]}^1/2.

Aquestes són iguals, i si l'aresta comuna es nota per s,

r_b = s/{2[1 – cos (2π/n - 2α)]}^1/2
r_t= s/{2[1 – cos (π/n)]}^1/2

Aquests valors s'han d'inserir en les expressions per a les coordenades dels vèrtexs donades més amunt.

Generalització a dimensió 4

Diagrama de Schlegel del pentacor «runcinat»: es veu bé la cúpula tetrahèdrica dins del cuboctàhedre.

Les cúpules poden ser obtingudes per una «expansió» de les piràmides corresponents (exemple: la piràmide quadrada dona la cúpula quadrada): les cares triangulars de les piràmides són progressivament separades intercalant rectangles fins que aquests siguin quadrats. La base n-gonal de la piràmide es transforma, doncs, en una base 2n-gonal, i el vèrtex de la piràmide dona lloc a un n-gon.

Aquesta propietat implica que l'alçada d'una cúpula 2n-gonal és la mateixa que la de la piràmide n-gonal.

Per generalitzar les cúpules en dimensió 4, cal doncs partir d'una piràmide 4d i aplicar aquesta mateixa expansió: s'obtenen sempre una base i un sostre enllaçats entre ells per piràmides (que reemplacen els triangles) i prismes (que reemplacen els quadrats).

Com saber quina base correspon a quin sostre? Es tracta sempre d'una expansió de la base de la piràmide. Així, en dimensió 2, l'operació d'expansió corresponia de fet a un truncament: és pel que es connecta un n-gone a un 2n-gone; en dimensió 3, l'expansió s'anomena «xanfranatge» (cantellation en anglès); si es volgués ampliar fins a dimensió 5, l'expansió pren el nom (en anglès) de «runcination» després «sterication» (vegeu la pàgina anglesa Expansion (geometry)).

El xanfranatge d'un tétraèdre dona un cuboctàedre. La cúpula corresponent és, doncs, la cúpula tétraèdrica, que té per a la base un cuboctaèdre i per al sostre un tétraèdre.

Igual com 2 cúpules hexagonals donen un cuboctaèdre, 2 cúpules tétraédriques donen un pentacor «runcinat» (runcinated pentachoron en anglès).

Existeixen en total 4 hiperpiràmides regulars, existeix doncs 4 hipercúpules regulars: la cúpula tétrahèdrica, la cúpula cúbica, la cúpula octaèdrica i la cúpula dodécahèdrica.

Hipercúpula

La casella corresponent a poliedres de la taula presenta les dades en el següent ordre:

• El sostre.
• Els poliedres que uneixen les cares de la base a les cares del sostre.
• Els poliedres que uneixen les cares de la base a les arestes del sostre.
• Els poliedres que uneixen les cares de la base als vèrtexs del sostre.
• La base.

	Cúpula tetraèdrica		Cúpula cúbica		Cúpula octaèdrica		Cúpula dodecaèdrica
Tipus	Policor convex no uniforme		Policor convex no uniforme		Policor convex no uniforme		Policor convex no uniforme
Vèrtex	16		32		30		80
Arestes	42		84		84		210
Cares	42	24 triangles 18 quadrats	80	32 triangles 48 quadrats	82	40 triangles 42 quadrats	194	80 triangles 90 cares 24 pentàgons
Políedres	16	1 Tetràedre 4 prismes triangulars 6 prismes triangulairs 4 tetraèdres 1 Cuboctàedre	28	1 cub 6 cubs 12 prismes triangulars 8 tetraèdres 1 rombicuboctàedre	28	1 octaedre 8 prismes triangulars 12 prismes triangulars 6 piràmides cares 1 rhombicuboctaèdre	64	1 Dodecàedre 12 prismes pentagonals 30 prismes triangulars 20 tetraèdres 1 rombi-cosidodecàedre

Vegeu també

• Cúpula pentagonal.
• Cúpula pentagonal giroallargada.
• Cúpula pentagonal allargada.
• Cúpula quadrada.
• Cúpula quadrada allargada.
• Cúpula quadrada giroallargada.
• Cúpula triangular.
• Cúpula triangular giroallargada.
• Cúpula triangular allargada.