Distribució de probabilitat composta

En probabilitat i estadística, una distribució de probabilitat composta (també coneguda com a distribució de barreja o distribució contagiosa) és la distribució de probabilitat que resulta de suposar que una variable aleatòria es distribueix segons una distribució parametritzada, amb (alguns dels) paràmetres d'aquesta distribució. essent ells mateixos variables aleatòries. Si el paràmetre és un paràmetre d'escala, la mescla resultant també s'anomena mescla d'escala.

La distribució composta ("distribució incondicional") és el resultat de la marginació (integració) sobre les variables aleatòries latents que representen els paràmetres de la distribució parametritzada ("distribució condicional").

Definició

Una distribució de probabilitat composta és la distribució de probabilitat que resulta d'assumir que una variable aleatòria $X$ es distribueix segons una distribució parametritzada $F$ amb un paràmetre desconegut $\theta$ que es torna a distribuir segons una altra distribució $G$ . La distribució resultant $H$ es diu que és la distribució que resulta de la composició $F$ amb $G$ . Distribució del paràmetre $G$ també s'anomena distribució de mescla o distribució latent. Tècnicament, la distribució incondicional $H$ resulta de la marginació $G$, és a dir, d'integrar els paràmetres desconeguts $\theta$ . La seva funció de densitat de probabilitat ve donada per:

$p_{H}(x)={\displaystyle \int \limits p_{F}(x|\theta )\,p_{G}(\theta )\operatorname {d} \!\theta }$

La mateixa fórmula s'aplica de manera anàloga si algunes o totes les variables són vectors.

A partir de la fórmula anterior, es pot veure que una distribució composta és essencialment un cas especial de distribució marginal: la distribució conjunta de $x$ i $\theta$ està donat per $p(x,\theta )=p(x|\theta )p(\theta )$, i el compost resulta com la seva distribució marginal: ${\textstyle p(x)=\int p(x,\theta )\operatorname {d} \!\theta }$. Si el domini de $\theta$ és discreta, aleshores la distribució torna a ser un cas especial d'una distribució de mescles.

Propietats

General

La distribució composta $H$ dependrà de l'expressió específica de cada distribució, així com de quin paràmetre $F$ es distribueix segons la distribució $G$, i els paràmetres de $H$ inclourà qualsevol paràmetre de $G$ que no estan marginats, ni integrats, fora. El suport de $H$ és el mateix que el de $F$, i si aquesta última és una distribució de dos paràmetres parametritzada amb la mitjana i la variància, existeixen algunes propietats generals.

Mitjana i variància

Els dos primers moments de la distribució composta estan donats per:

$$\operatorname {E} _{H}[X]=\operatorname {E} _{G}{\bigl [}\operatorname {E} _{F}[X|\theta ]{\bigr ]}$$

$$\operatorname {Var} _{H}(X)=\operatorname {E} _{G}{\bigl [}\operatorname {Var} _{F}(X|\theta ){\bigr ]}+\operatorname {Var} _{G}{\bigl (}\operatorname {E} _{F}[X|\theta ]{\bigr )}$$