Distribució khi no central

En teoria i estadística de probabilitats, la distribució khi no central és una generalització no central de la distribució khi. També es coneix com a distribució de Rayleigh generalitzada.

Distribució khi no central

Definició

Si $X_{i}$ són k variables aleatòries independents, distribuïdes normalment amb mitjanes $\mu _{i}$ i variancia $\sigma _{i}^{2}$, després l'estadística

$Z={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

es distribueix segons la distribució de khi no central. La distribució de khi no central té dos paràmetres: $k$ que especifica el nombre de graus de llibertat (és a dir, el nombre de $X_{i}$), i $\lambda$ que es relaciona amb la mitjana de les variables aleatòries $X_{i}$ per:

$\lambda ={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

Propietats

Funció de densitat de probabilitat

La funció de densitat de probabilitat (pdf) és

$f(x;k,\lambda )={\frac {e^{-(x^{2}+\lambda ^{2})/2}x^{k}\lambda }{(\lambda x)^{k/2}}}I_{k/2-1}(\lambda x)$

on $I_{\nu }(z)$ és una funció de Bessel modificada del primer tipus.