Obre el menú principal

Conjunt connex

(S'ha redirigit des de: Espai connex)

Un conjunt connex (connexió) per a un espai topològic és molt natural. Així, es diu que un espai és disconnex si és possible dividir-lo en dos conjunts oberts amb intersecció nul•la. En cas contrari, es diu que l'espai és connex.

DefinicióModifica

Siga   un espai topològic on   n'és la topologia.

Direm que un subconjunt   és disconnex si   tal que  .

Es diu doncs que C és connex en el cas que no sigui disconnex

ExemplesModifica

Conjunts connexosModifica

  • Les esferes   són connexes
  • Un punt en   és connex
  • Un nus és un conjunt connex en  
  • Un tor és un conjunt connex en  
  • En  , un conjunt és connex si i només si és un interval (matemàtiques)
  • El complementari d'un punt en   és connex

Conjunts disconexosModifica

  • El complementari d'un punt en  
  • El conjunt format per la unió de dues esferes disjuntes a  
  • Un enllaç de   components (nusos)

Propietats dels conjunts connexosModifica

Es compleix que si   és un espai topològic connex, qualsevol espai homeomorfa a ell també ho serà. Aquesta propietat ens dóna una caracterització molt útil dels conjunts connexos:   és un conjunt connex si i només si per a tota funció   contínua, es compleix que   és una funció constant, on a   (topologia discreta).

La imatege per una aplicació contínua d'un conjunt connex és connexa.

Una altra propietat interessant dels conjunts connexos és la següent: Si   és una família d'espais topològics connexos (amb   un conjunt d'índexs de qualsevol cardinalitat), llavors   també és connex, on   és la topologia producte.

Finalment, si   no és connex, és a dir, si hi ha oberts   disjunts no buits tals que la seva unió és  , és fàcil veure que cada obert serà el complement de l'altre, després seran complements d'un obert, i per tant, seran tancats. És a dir, seran conjunts clopen. Per això, una altra manera de caracteritzar la connexitat és a dir:   serà connex si i només si els únics clopen són   (on tots dos conjunts són sempre clopen).

Connexió per arcsModifica

Article principal: Espai connex per camins

Direm que un conjunt   és connex per camins o arc connex si donats   hi ha un camí continu   tal que   i  .

 
Pinta del topòleg

La connexitat per camins implica connexitat, però el recíproc no és cert en general. Un contraexemple molt típic és l'anomenat pinta del topòleg,  , on   i  .   és connex, però no connex per camins.

Ser connex per camins no és una propietat hereditària (és a dir, si un conjunt és connex per camins, qualsevol subconjunt d'aquest no és necessàriament connex per camins). Però, ser connex per camins és una propietat topològica (és a dir, la imatge mitjançant una aplicació contínua d'un conjunt connex per camins és connexa per camins).

Components connexesModifica

Donat un espai topològic   disconnex s'anomena component connexa, a cada un dels conjunts maximals connexos. És a dir un subconjunt   és un component connexa si es compleixen aquestes dues condicions:

  1.   és connex.
  2. Qualsevol conjunt   que conté pròpiament a   és disconex.

Es compleix que les components connexes de   formen una partició de  .