Topologia producte

S'anomena topologia producte a una topologia construïda sobre el producte cartesià d'espais topològics a partir de la topologia dels factors. Va ser introduïda el 1930 per Tychonoff , com la topologia menys fina que fa que les projeccions sobre cada factor en aplicacions contínues.

Aquesta topologia coincideix en el cas de producte d'un nombre finit de factors amb una altra potser més òbvia, anomenada topologia de caixes, introduïda prèviament per Tietz a 1923. Però la topologia de caixes presenta propietats indesitjables per a un producte d'infinits factors: entre d'altres, el producte d'espais connexos no és necessàriament connex, ni el de compactes necessàriament compacte, coses que sí que succeeixen per la topologia producte.

Per tot això, se sobreentén que en un producte cartesià, llevat que s'especifiqui el contrari. es fa servir sempre la topologia producte,

Definició formal

Sigui $\{X_{\alpha },T\alpha \}$ una família arbitrària (potser infinita) d'espais topològics. Truquem X al seu producte cartesià, ie $X=\prod _{\alpha }X_{\alpha }$ i $p_{\alpha }:X\longrightarrow X_{\alpha }$ a la projecció sobre el factor corresponent.

Podem dotar X de la 'topologia producte, que és aquella que té com una subbase als conjunts de la forma $\{p_{\alpha }^{-1}(U_{\alpha })\}$ on cada $U_{\alpha }$ és un obert de $X_{\alpha }$.

Base de la topologia

La intersecció finita d'elements de la subbase donarà lloc als elements de la base, amb diferent resultat segons tractem amb un producte d'un nombre finit o infinit d'espais.

Producte d'un nombre finit de factors

En aquest cas la topologia producte serà la que té per base les caixes obertes, és a dir, el producte cartesià d'oberts $\{\prod _{\alpha }U_{\alpha }\}$

Producte d'infinits factors

Aquí els oberts bàsics seran de la forma:

$U_{\alpha _{1}}\times \cdots U_{\alpha _{n}}\times \prod \{X_{\beta }:\beta \neq \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\}$

Això condicionarà la forma dels oberts V de la topologia producte: tot obert, comproveu que $p_{\alpha }(V)=X_{\alpha }$ per a tots els índexs excepte per a un conjunt finit, ja que ha de contenir un obert bàsic que es projecta d'aquesta manera.

Relació amb altres propietats topològiques

• Separació
  • Tot producte d'espais T₀ és T ₀
  • Tot producte d'espais T₁ és T ₁
  • Tot producte d'espais Hausdorff és Hausdorff.
• Compacitat
  • Tot producte de compactes és compacte (Teorema de Tychonoff)
  • Però un producte d'espais localment compactes no té per què ser localment compacte.
• Connexió
  • Tot producte d'espais connexos és connex.
  • Tot producte d'espais arcoconnexos és arcoconexo.