Obre el menú principal

DefinicióModifica

Un espai topològic   és   si per a cada parella d'elements diferents   i   d'  existeix un obert que conté   i no   i un obert que conté   i no  . Noti's que no es necessari que aquests dos oberts siguin disjunts, cas en què estaríem parlant d'espais de Hausdorff o  ).

PropietatsModifica

Sigui   un espai topològic. Són equivalents:

  •   és un espai  .
  •   és un espai   i un espai  .
  • Per a cada   d' ,   és tancat.
  • Tot conjunt d'un únic punt és la intersecció dels seus entorns.
  • Tot subconjunt d'  és la intersecció dels seus entorns.
  • Tot subconjunt finit d'  és tancat.
  • Tot subconjunt cofinit d'  és obert.
  • L'ultrafiltre principal d'  convergeix només a  .
  • Per a cada punt   d'  i tot subcojunt   d' ,   és un punt adherent de   si i només si és un punt d'acumulació de  .

A més a més, la propietat de separació T1 és hereditària, la qual cosa significa que els subespais d'un espai T1 també són T1.[1]

Nota i casosModifica

  • Sigui  , on   i   és finit . Aleshores T es una estructura topològica sobre ℕ, anomenada estructura topològica cofinita que és T1 però no T2.[2]
  • Qualsevol espai T1 finit és un espai topològic discret.[3]
  • Sigui   i la topologia que consisteix dels subconjunts de X següents:  ,  ,  ,  ,   no és T1, ja que   no és tancat.[4]


TeoremaModifica

Un espai topològic és T1 si i només si cada punt és un conjunt tancat.[3][5]

ExemplesModifica

ReferènciesModifica

  1. Llopis, José L. «Propietats topològiques hereditàries» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 11 octubre 2019].
  2. Ayala y otros: "Elementos de topología general" ISBN 84-7829-006-0
  3. 3,0 3,1 Simmons: Introduction to Topology and Modern Analysis
  4. Llopis, José L. «Exemples i propietats dels espais topològics finits» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 11 octubre 2019].
  5. Llopis, José L. «Espai topològic de Fréchet T1» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 13 octubre 2019].
  6. Sapiña, R. «Topología cofinita» (en castellano). Problemas y Ecuaciones. ISSN: 2659-9899 [Consulta: 13 octubre 2019].
  7. Sapiña, R. «Espacio de Sierpinski» (en castellano). Problemas y Ecuaciones. ISSN: 2659-9899 [Consulta: 13 octubre 2019].

Vegeu tambéModifica

Enllaços externsModifica