Fibrats vertical i horitzontal

En matemàtiques, el fibrat vertical i el fibrat horitzontal són fibrats vectorials associats a un fibrat. Més precisament, donat un fibrat $\pi \colon E\to B$, el fibrat vertical $VE$ i el fibrat horitzontal $HE$ són subfibrats del fibrat tangent $TE$ de $E$ la suma de Whitney dels quals satisfà $VE\oplus HE\cong TE$. Això signfica que, en cada punt $e\in E$, les fibres $V_{e}E$ i $H_{e}E$ formen subespais complementaris de l'espai tangent $T_{e}E$. El fibrat vertical està format per tots els vectors que són tangents a les fibres, mentre que el fibrat horitzontal requereix d'una certa elecció de subfibrat complementari.

Aquí, es té un fibrat sobre un espai base $X$. Cada punt $x\in X$ correspon a una fibra $p_{x}$ de punts. En cada punt en la fibra $p\in p_{x}$, la fibra vertical és única. És l'espai tangent a una fibra. La fibra horitzontal és no-única. Simplement ha de ser transversal a la fibra vertical.

Més precisament, defineixi's l'espai vertical $V_{e}E$ a $e\in E$ com $\ker(d\pi _{e})$. És a dir, el diferencial $d\pi _{e}\colon T_{e}E\to T_{b}B$ (on $b=\pi (e)$) és una surjecció lineal el kernel de la qual té la mateixa dimensió que les fibres de $\pi$. Si s'escriu $F=\pi ^{-1}(b)$, llavors $V_{e}E$ està format exactament pels vectors en $T_{e}E$ que també són tangents a $F$. El nom és motivat per exemples de dimensions baixes com el fibrat lineal trivial d'un cercle, que de vegades és mostrat com un cilindre vertical projectat a un cercle horitzontal. Un subespai $H_{e}E$ de $T_{e}E$ rep el nom d'espai horitzontal si $T_{e}E$ és la suma directa de $V_{e}E$ i $H_{e}E$.

La unió disjunta dels espais verticals V_eE per tot e en E és el subfibrat VE de TE; és el fibrat vertical de E. Similarment, en el cas que els espais horitzontals $H_{e}E$ canviïn suaument amb e, la seva unió disjunta és un fibrat horitzontal. L'ús de les paraules "el" i "un" aquí és intencional: cada subespai vertical és únic, definit explícitament per $\ker(d\pi _{e})$. Deixant de banda els casos trivials, hi ha un nombre infinit de subespais horitzontals en cada punt. També noti's que eleccions arbitràries d'espais horitzontals en cada punt no formaran, en general, un fibrat vectorial suau; també han de variar d'una manera degudament suau.

El fibrat horitzontal és una manera de formular la noció d'una connexió d'Ehresmann en un fibrat. Per tant, per exemple, si E és un fibrat-G principal, llavors normalment cal que el fibrat horitzontal sigui G-invariant: tal elecció és equivalent a un connexió al fibrat principal. Això ocorre notablement quan E és el fibrat de marc associat a alguns fibrats vectorials, que és un fibrat $\operatorname {GL} _{n}$ principal.

Definició formal

Sigui π:E→B un fibrat sobre una varietat diferenciable B. El fibrat vertical és el kernel VE := ker(dπ) del mapa tangent de π : TE → TB.

Com que dπ_e és surjectiu en cada punt e, dona lloc a un subfibrat regular de TE. A més, el fibrat vertical VE és també integrable.

Una connexió d'Ehresmann en E és una elecció d'un subfibrat complementari HE a VE en TE, anomenat el fibrat horitzontal de la connexió. En cada punt e en E, els dos subespais formen una suma directa, tal que T_eE = V_eE ⊕ H_eE.

Exemple

Subespais vertical i horitzontal de la cinta de Möbius.

La cinta de Möbius és un fibrat lineal sobre el cercle, i el cercle es pot entendre com l'anell del mig d'una cinta. En cada punt $e$ de la cinta, el mapa projectiu el projecta cap a l'anell del mig, i la fibra és perpendicular a l'anell del mig. El fibrat vertical en aquest punt $V_{e}E$ és l'espai tangencial a la fibra.

Un exemple simple d'unfibra suau és el producte cartesià de dues varietats. Consideri's el fibrat B₁ := (M × N, pr₁) amb projecció de fibrat pr₁ : M × N → M : (x, y) → x. Aplicant la definició del paràgraf superior per trobar el fibrat vertical, consideri's primer un punt (m,n) en M × N. Llavors la imatge d'aquest punt sota pr₁ és m. La preimatge de m sota aquesta mateixa pr₁ és {m} × N, de tal manera que T_(m,n) ({m} × N) = {m} × TN. El fibrat vertical és llavors VB₁ = M × TN, que és un subfibrat de T(M ×N). Si es pren l'altra projecció pr₂ : M × N → N : (x, y) → y per definir el fibrat B₂ := (M × N, pr₂) llavors el fibrat vertical serà VB₂ = TM × N.

En tots dos casos, l'estructura producte dona una elecció natural de fibrat horitzontal i per tant d'una connexió d'Ehresmann: el fibrat horitzontal de B₁ és el fibrat vertical de B₂ i vice versa.

Propietats

Diversos tensors i formes diferencials de la geometria diferencial tenen propietats específiques en els seus fibrats vertical i horitzontals, o fins i tot es poden definir en termes d'aquests espais. Alguns d'aquests són

• Un camp vectorial vertical és un camp vectorial que es troba en el fibrat vertical. És a dir, per cada punt e de E, es tria un vector $v_{e}\in V_{e}E$ on $V_{e}E\subset T_{e}E=T_{e}(E_{\pi (e)})$ és l'espai vectorial vertical en el punt e.
• Es diu que una r-forma diferenciable $\alpha$ en E és una forma horitzontal si $\alpha (v_{1},...,v_{r})=0$ sempre que almenys un dels vectors $v_{1},...,v_{r}$ és vertical.
• La forma de connexió es torna zero en el fibrat horitzontal, i és no-zero en el fibrat vertical. D'aquesta manera, es pot utilitzar la forma de connexió per definir el fibrat horitzontal: el fibrat horitzontal és el kernel de la forma de connexió.
• La forma de soldadura o u-forma tautològica es fa zero en el fibrat vertical i és no-zero en el fibrat horitzontal. Per definció, la forma de soldadura pren valors no-zero en el fibrat horitzontal.
• Pel cas del fibrat de marc, la forma torsió es fa zero en el fibrat, i es pot utilitzar per definir exactament la part que cal afegur a una connexió arbitrària per tornar-la en una connexió de Levi-Civita, és a dir fer que la connexió no tingui torsió. En efecte, si s'escriu θ per la forma de soldadura, quan el tensor de torsió Θ ve donat per Θ = D θ (amb D la derivada covariant exterior). Per qualsevol connexió ω, hi ha una única u-forma σ en TE, anomenada el tensor contorsió, que esdevé zero en el fibrat vertical, i que és tal que ω+σ és una altra connexió u-forma que és lliure de torsió. La u-forma resultanr ω+σ no és una altra que la connexió de Levi-Civita. Es pot considerar això com una definició: com que la torsió és donada per $\Theta =D\theta =d\theta +\omega \wedge \theta$, que la torsió sigui zero és equivalent a tenir $d\theta =-(\omega +\sigma )\wedge \theta$, i no és difícil demostrar que σ ha de ser zero en el fibrat vertical, i que σ ha de ser G-invariant en cada fibra. Noti's que aquest definició de la connexió de Levi-Civita no fa cap referència explícita a cap tensor mètric (tot i que es pot entendre el tensor mètric com un cas especial de la forma de soldadura, en establir una mpaa entre els fibrats tangent i cotangent de l'espai base, és a dir entre els subespais horitzontal i vectorial del fibrat de marc).
• En el cas en què E és un fibrat principal, llavors el camp vectorial fonamental ha de viure necessàriament en el fibrat vertical, i fer-se zero en qualsevol fibrat horitzontal.