Mètode de la bisecció

En matemàtiques, el mètode de la bisecció és un algorisme de cerca d'arrels d'una funció contínua en un interval. L'algorisme consisteix en dividir repetidament l'interval en dos subintervals i seleccionar el que conté l'arrel, fins a trobar l'arrel o una aproximació d'aquesta.

Algunes iteracions del mètode de la bisecció aplicat en un interval [a1;b1]. El punt roig és l'arrel de la funció.

IntroduccióModifica

El mètode es basa en el teorema del valor intermedi (TVI), segons el qual, tota funció contínua f en un interval tancat [a,b] s'anul·la en algun punt de l'interval si els signes de f(a) i f(b) són contraris.

Descripció del mètode:

  • Es comprova que  
  • Es calcula el punt mitjà m de l'interval [a,b] i s'avalua f(m).
  • Si f(m)=0, m és una arrel. Si no, es comprova que f(m) té signe contrari que f(a) ó f(b).
  • Es redefineix l'interval [a,b] com [a,m] ó [m,b] segons s'haja determinat en quin d'aquests intervals es produeix un canvi de signe.
  • Es repeteix el procés amb l'interval fins a arribar a la precisió desitjada.


Si existeixen més d'una arrel, no es pot assegurar a quina d'aquestes convergeix el mètode.

AlgorismeModifica

Es defineixen tres successions  :

 

on els valors inicials venen donats per:

 

Es pot provar que les tres successions convergeixen a la mateixa arrel:[1]

 

Demostració de la convergènciaModifica

Sigui r una arrel continguda en l'interval [a,b]. L'interval de cerca en el pas n-èssim té longitud

 

Com que   es troba sempre a l'interval de cerca,

 

Prenent límits,

 

Fita de l'errorModifica

L'error comès al realitzar   iteracions del mètode és[1]

 

Per aconseguir un error inferior a  , el nombre d'iteracions   a realitzar ha de ser

 

Vegeu tambéModifica

BibliografiaModifica

  • Richard L Burden, J. Douglas Faires (2000), "Numerical Analysis, (7th Ed)", Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9.
  • Corliss, George «Which root does the bisection algorithm find?». SIAM Review, 19, 2, 1977, p. 325–327. DOI: 10.1137/1019044. ISSN: 1095-7200.

ReferènciesModifica

  1. 1,0 1,1 Llopis, José L. «Método de la bisección» (en espanyol). https://www.matesfacil.com/. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 22 febrer 2019].