Obre el menú principal

Teorema del valor intermedi

Teorema del valor intermedi

En matemàtiques el teorema del valor intermedi estableix que si la funció y=f(x) és contínua en [a,b], i u és un valor entre f(a) i f(b), llavors hi ha, pel capdavall, un c ∈ [a,b] tal que f(c) = u.

En el cas de u=0, el teorema es coneix també amb el nom de teorema de Bolzano. Intuïtivament es pot dir que si una funció va des d'un valor inicial fins a un altre de final, i és contínua, ha de passar per tots els valors intermedis. Això representa la idea que la gràfica d'una funció contínua en un interval tancat es pot dibuixar sense aixecar el llapis del paper.

No s'ha de confondre amb el teorema del valor mitjà, que diu que, si la funció és derivable, hi ha un punt de l'interval on el pendent coincideix amb el pendent mitjà.

Tampoc no s'ha de confondre amb el teorema de Bolzano-Weierstrass, que diu que un subconjunt de Rn és seqüencialment compacte si és tancat i fitat.

Definició formalModifica

Si   és una funció contínua i u és un nombre real tal que f(a) < u < f(b) o f(a) > u > f(b). Llavors per algun c ∈ [a,b], f(c) = u.

També es pot definir de forma equivalent dient que: si   és un interval compacte [a,b] dins el conjunt dels nombres reals R i   és una funció contínua, llavors el conjunt imatge   és també un interval i conté, o bé [f(a),f(b)], o conté [f(b),f(a)]; és a dir,

  •  ,

o

  •  .

El teorema es compleix gràcies a la completesa dels nombres reals. En el cas dels nombres racionals és fals. Per exemple, la funció f(x) = x^2 - 2, definida per a xQ, satisfà   i  . En canvi no hi ha cap nombre racional   tal que  .

DemostracióModifica

Es demostrarà el primer cas  ; el segon és similar.

Sia  . Llavors   no és buit (ja que  ) i té una fita superior  . Per tant, per la propietat de completesa dels nombres reals, el suprem   existeix. Es tracta de veure que  .

Se suposa primer que  . Llavors  , per tant hi ha un   tal que   sempre que  , donat que   és contínua. Però llavors   sempre que   (és a dir   per   en  ). Per tant   és una fita superior de  , però això és una contradicció donat que   és el suprem (la més petita de totes les fites superiors) i  .

Tot seguit se suposa que  . Altre cop, per continuïtat, hi ha un   tal que   on  . Llavors   per   en   i hi ha nombres   més grans que   per als quals  , la qual cosa és, un altre cop, contradictòria amb la definició de  .

Se'n dedueix que  , tal com diu el teorema.

GeneralitzacióModifica

El teorema del valor intermedi es pot veure com una conseqüència de les dues afirmacions següents de topologia:

  • Si   i   són espais topològics,   és contínua, i   és connex, llavors   és connex.
  • Un subconjunt de   és connex si i només si és un interval.

Exemple d'utilització per a demostracionsModifica

El teorema rarament s'aplica amb nombres concrets; en canvi dóna algunes caracteritzacions de les funcions contínues. Per exemple, sia   on   és una funció contínua i fitada definida en R. Llavors es pot afirmar que   s'anul·la almenys en un punt. Per a veure-ho, es té en compte el següent:

Com que   és fitada, es poden triar   i  . Clarament   i  . Si   és contínua, llavors   també ho és. Com que   és contínua, s'hi pot aplicar el teorema del valor intermedi i establir que   ha de valer 0 en algun punt entre   i  . Aquest resultat demostra que la gràfica  de qualsevol funció contínua fitada en R ha de tallar la gràfica de la funció identitat  .