Conjunt dens

Sigui $(X,{\mathcal {T}})$ un espai topològic; $A\subset X$ és un conjunt dens a $X\;$ si i només si ${\bar {A}}=X\;$, és a dir, la clausura del conjunt és tot l'espai.

Es compleix que les següents proposicions per $A$ són totes equivalents:

1. $A$ és dens a $X$
2. $A\subset B,B$ tancat $\Rightarrow B=X$
3. $\forall V\in {\mathcal {T}},A\cap V=\varnothing \Rightarrow V=\varnothing$

Exemples

• Tot espai topològic és dens en si mateix.
• $\mathbb {Q}$ i $\mathbb {I}$ són subconjunts densos de $\mathbb {R}$.
• Els polinomis són densos en el conjunt $C[a,b]$ de les funcions contínues definides en $[a,b]$, dotat de la topologia associada a la distància $D_{\infty }(f,g)=\max _{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)|$.

Espai separable

Si $(X,{\mathcal {T}})$ conté un dens numerable es diu que és un espai topològic separable. Exemples d'espais separables són $\mathbb {R} ^{n}$ i $C([0,1],\mathbb {R} )$ (l'espai de les funcions contínues que van de $[0,1]$ a $\mathbb {R}$).

Bibliografia

• Nicolas Bourbaki. General Topology, Chapters 1–4. Springer-Verlag, 1989. ISBN 3-540-64241-2.  (anglès)
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr.. Counterexamples in Topology. Dover reprint of 1978. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995. ISBN 978-0-486-68735-3.  (anglès)

Vegeu també

• Espai separable