Teorema de Stolz-Cesàro

En matemàtiques, el teorema de Stolz-Cesàro és un criteri per demostrar la convergència d'una successió. El teorema porta el nom dels matemàtics Otto Stolz i Ernesto Cesàro, que ho van afirmar i demostrar per primera vegada.

El teorema de Stolz–Cesàro es pot veure com una generalització de la sumació de Cesàro, però també com una regla de L'Hôpital per a successions.

Enunciat del teorema per al cas ∙/∞

Siguin $(a_{n})_{n\geq 1}$ i $(b_{n})_{n\geq 1}$ dues successions de nombre reals. Suposem que $(b_{n})_{n\geq 1}$ és una successió estrictament monòtona i divergent (és a dir, estrictament creixent i s'aproxima a $+\infty$, o estrictament decreixent i s'aproxima a $-\infty$) i existeix el següent límit:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\$

Aleshores, el límit

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\$

Aquest resultat s'empra per evitar indeterminacions del tipus $\infty /\infty$.

Enunciat del teorema per al cas 0/0

Siguin $(a_{n})_{n\geq 1}$ i $(b_{n})_{n\geq 1}$ dues successions de nombre reals. Suposem ara que $(a_{n})\to 0$ i $(b_{n})\to 0$ mentre que $(b_{n})_{n\geq 1}$ és estrictament decreixent. Si

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l,\$

aleshores

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\$

Criteri de Stolz de l'arrel

Siguin $\{a_{n}\}\$ i $\{b_{n}\}\$ dues successions tals que,

• $a_{n}>0,\forall n\in \mathbb {N}$
• $b_{n}\$ és monótona creixent i divergent $(b_{n}>0,\forall n)$
• $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n+1}-b_{n}}]{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}=\lambda ,\lambda \in \mathbb {R}$

Aleshores,

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n}}]{a_{n}}}=\lambda$

Demostracions

Demostració del teorema per al cas ∙/∞

Cas 1: suposem que $(b_{n})$ estrictament creixent i divergent a $+\infty$ i $-\infty <l<\infty$. Per hipòtesi, tenim que per a tot $\epsilon /2>0$ existeix $\nu >0$ tal que $\forall n>\nu$

$\left|\,{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}-l\,\right|<{\frac {\epsilon }{2}},$

és a dir

$l-\epsilon /2<{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}<l+\epsilon /2,\quad \forall n>\nu .$

Com que $(b_{n})$ augmenta estrictament, $b_{n+1}-b_{n}>0$, i es compleix el següent

$(l-\epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n})<a_{n+1}-a_{n}<(l+\epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n}),\quad \forall n>\nu$.

A continuació ens adonem que

$a_{n}=[(a_{n}-a_{n-1})+\dots +(a_{\nu +2}-a_{\nu +1})]+a_{\nu +1}$

així, aplicant la desigualtat anterior a cadascun dels termes entre claudàtors, obtenim

${\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}.\end{aligned}}$

Ara, com que $b_{n}\to +\infty$ amb $n\to \infty$, hi ha un $n_{0}>0$ tal que $b_{n}>0$ per a tots els $n>n_{0}$, i podem dividir les dues desigualtats per $b_{n}$ per a tots els $n>\max\{\nu ,n_{0}\}$

$(l-\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l-\epsilon /2)}{b_{n}}}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<(l+\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l+\epsilon /2)}{b_{n}}}.$

Les dues successios (que només es defineixen per a $n>n_{0}$ ja que podria haver-hi un $N\leq n_{0}$ tal que $b_{N}=0$)

$c_{n}^{\pm }:={\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}$

són infinitesimals ja que $b_{n}\to +\infty$ i el numerador és un nombre constant, per tant, per a tot $\epsilon /2>0$ existeix $n_{\pm }>n_{0}>0$, de manera que

${\begin{aligned}&|c_{n}^{+}|<\epsilon /2,\quad \forall n>n_{+},\\&|c_{n}^{-}|<\epsilon /2,\quad \forall n>n_{-},\end{aligned}}$

per tant

$l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{n}^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{n}^{+}<l+\epsilon ,\quad \forall n>\max \lbrace \nu ,n_{\pm }\rbrace =:N>0,$

que conclou la prova.

El cas amb $(b_{n})$ estrictament decreixent i divergent a $-\infty$, i $l<\infty$ és similar.

Cas 2: suposem que $(b_{n})$ estrictament creixent i divergent a $+\infty$ i $l=+\infty$. Seguint com abans, per a tots els $2M>0$ hi ha $\nu >0$ de manera que per a tots els $n>\nu$

${\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M.$

De nou, aplicant la desigualtat anterior a cadascun dels termes dins dels claudàtors obtenim

$a_{n}>2M(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1},\quad \forall n>\nu ,$

i

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+{\frac {a_{\nu +1}-2Mb_{\nu +1}}{b_{n}}},\quad \forall n>\max\{\ nu,n_{0}\}.$

La successió $(c_{n})_{n>n_{0}}$ definida per

$c_{n}:={\frac {a_{\nu +1}-2Mb_{\nu +1}}{b_{n}}}$

és infinitesimal, per tant

$\forall M>0\,\exists {\bar {n}}>n_{0}>0{\text{ tal que }}-M<c_{n}<M,\,\forall n>{\bar {n}},$

combinant aquesta desigualtat amb l'anterior concloem

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{n}>M,\quad \forall n>\max\{\nu ,{\bar {n}}\}=:N.$

Les demostracions dels altres casos amb $(b_{n})$ estrictament creixent o decreixent i s'acosten a $+\infty$ o $-\infty$ respectivament i $l=\pm \infty$ tots procedeixen de la mateixa manera.

Demostració del teorema per al cas 0/0

Cas 1: primer considerem el cas amb $l<\infty$ i $(b_{n})$ estrictament decreixents. Aquesta vegada, per cada $\nu >0$, podem escriure

$a_{n}=(a_{n}-a_{n+1})+\dots +(a_{n+\nu -1}-a_{n+\nu })+a_{n+\nu },$

i per a qualsevol $\epsilon /2>0,$ $\exists n_{0}$ de manera que per a tots els $n>n_{0}$ tenim

${\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu }=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+\dots +(b_{n+\nu -1}-b_{n+\nu })]+a_{n+\nu }<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+\dots +(b_{n+\nu -1}-b_{n+\nu })]+a_{n+\nu }=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu }.\end{aligned}}$

Les dues successions

$c_{\nu }^{\pm }:={\frac {a_{n+\nu }-b_{n+\nu }(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}$

són infinitesimals ja que per hipòtesi $a_{n+\nu },b_{n+\nu }\to 0$ amb $\nu \to \infty$, per tant, per a tots els $\epsilon /2>0$ hi ha $\nu _{\pm }>0$ de tal manera que

${\begin{aligned}&|c_{\nu }^{+}|<\epsilon /2,\quad \forall \nu >\nu _{+},\\&|c_{\nu }^{-}|<\epsilon /2,\quad \forall \nu >\nu _{-},\end{aligned}}$

així, escollint $\nu$ adequadament (és a dir, agafant el límit respecte a $\nu$) obtenim

$l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{\nu }^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{\nu }^{+}<l+\epsilon ,\quad \forall n>n_{0}$

que conclou la prova.

Cas 2: suposem que $l=+\infty$ i $(b_{n})$ estan estrictament decreixents. Per a tots els $2M>0$ existeix $n_{0}>0$ de manera que per a tots els $n>n_{0},$

${\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M\implies a_{n}-a_{n+1}>2M(b_{n}-b_{n+1}).$

Per tant, per a cada $\nu >0,$

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+{\frac {a_{n+\nu }-2Mb_{n+\nu }}{b_{n}}},\quad \forall n>n_{0}.$

La successió

$c_{\nu }:={\frac {a_{n+\nu }-2Mb_{n+\nu }}{b_{n}}}$

convergeix a $0$ (mantenint $n$ fixa). Per tant

$\forall M>0\,~\exists {\bar {\nu }}>0$ de manera que $-M<c_{\nu }<M,\,\forall \nu >{\bar {\nu }},$

i, escollint $\nu$ convenientment, concloem la demostració

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{\nu }>M,\quad \forall n>n_{0}.$

Aplicacions i exemples

El teorema sobre el cas $\cdot /\infty$ té unes quantes conseqüències notables que són útils en el càlcul de límits.

Sumatori aritmètic

Sigui $(x_{n})$ una successió de nombres reals que convergeix a $l$, definim

$a_{n}:=\sum _{m=1}^{n}x_{m}=x_{1}+\dots +x_{n},\quad b_{n}:=n$

aleshores $(b_{n})$ és estrictament creixent i divergeix a $+\infty$. Calculem

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n+1}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=l$

per tant

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.$

Donada qualsevol successió $(x_{n})_{n\geq 1}$ de nombres reals, suposem que

$\lim _{n\to \infty }x_{n}$

(finit o infinit), llavors existeix

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.$

Sumatori geomètric

Sigui $(x_{n})$ una successió de nombres reals positius que convergeixen a $l$ i definim

$a_{n}:=\log(x_{1}\cdots x_{n}),\quad b_{n}:=n,$

tornem a calcular

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}{\frac {x_{1}\cdots x_{n+1}}{x_{1}\cdots x_{n}}}{\Big )}=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n+1})=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n})=\log(l),$

on hem utilitzat el fet que el logaritme és continu. Així

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\log(x_{1}\cdots x_{n})}{n}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}}{\Big )}=\log(l),$

com que el logaritme és alhora continu i injectiu podem concloure que

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}$.

Donada qualsevol successió $(x_{n})_{n\geq 1}$ de nombres reals (estrictament) positius, suposem que

$\lim _{n\to \infty }x_{n}$

existeix (finit o infinit), doncs

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.$

Suposem que se'ns dóna una successió $(y_{n})_{n\geq 1}$ i se'ns demana que calculem

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}},$

definint $y_{0}=1$ i $x_{n}=y_{n}/y_{n-1}$ obtenim

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {y_{1}\dots y_{n}}{y_{0}\cdot y_{1}\dots y_{n-1}}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}},$

si apliquem la propietat anterior

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n}}{y_{n-1}}}.$

Aquesta última forma sol ser la més útil per calcular límits

Donada qualsevol successió $(y_{n})_{n\geq 1}$ de nombres reals (estrictament) positius, suposem que

$\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n+1}}{y_{n}}}$

existeix (finit o infinit), doncs

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n+1}}{y_{n}}}.$

Exemples

Exemple 1

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{n}}=1.$

Exemple 2

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)!(n^{n})}{n!(n+1)^{n+1}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{n}}{(n+1)^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{(1+{\frac {1}{n}})^{n}}}={\frac {1}{e}}\end{aligned}}$

on hem utilitzat la representació de $e$ com a límit d'una successió.

Història

El cas ∞/∞ està enunciat i provat a les pàgines 173-175 del llibre de Stolz de 1885 i també a la pàgina 54 de l'article de Cesàro de 1888.

Apareix com el problema 70 a [Pólya, Szegő 1925].

La forma general

Enunciat

La forma general del teorema de Stolz–Cesàro és la següent: Si $(a_{n})_{n\geq 1}$ i $(b_{n})_{n\geq 1}$ són dues successions tals que $(b_{n})_{n\geq 1}$ és monòton i no fitat:

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.$

Demostració

En lloc de demostrar l'afirmació anterior, en demostrarem una lleugerament diferent; primer introduïm una notació: sigui $(a_{n})_{n\geq 1}$ qualsevol successió, la seva suma parcial es denotarà per $A_{n}:=\sum _{m\geq 1}^{n}a_{m}$. L'enunciat equivalent que demostrarem és:

Siguin $(a_{n})_{n\geq 1},(b_{n})_{\geq 1}$ dues successions qualsevol de nombres reals tals que

• $b_{n}>0,\quad \forall n\in {\mathbb {Z} }_{>0}$,
• $\lim _{n\to \infty }B_{n}=+\infty$,

llavors

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}.$

Prova de l'enunciat equivalent

Primer observem que:

• $\liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}$ sosté per definició de límit superior i límit inferior;
• $\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}$ es manté si i només si $\limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ perquè $\liminf _{n\to \infty }x_{n}=-\limsup _{n\to \infty }(-x_{n})$ per a qualsevol successió $(x_{n})_{n\geq 1}$.

Per tant, només hem de demostrar que $\limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$. Si $L:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty$ no hi ha res a demostrar, per tant podem suposar $L<+\infty$ (pot ser finit o $-\infty$). Per definició de $\limsup$, per a tot $l>L$ hi ha un nombre natural $\nu >0$ de tal manera que

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l,\quad \forall n>\nu .$

Podem utilitzar aquesta desigualtat per escriure

$A_{n}=A_{\nu }+a_{\nu +1}+\dots +a_{n}<A_{\nu }+l(B_{n}-B_{\nu }),\quad \forall n>\nu ,$

Perquè $b_{n}>0$, també tenim $B_{n}>0$ i podem dividir per $B_{n}$ per aconseguir

${\frac {A_{n}}{B_{n}}}<{\frac {A_{\nu }-lB_{\nu }}{B_{n}}}+l,\quad \forall n>\nu .$

A partir que $B_{n}\to +\infty$ amb $n\to +\infty$, la successió

${\frac {A_{\nu }-lB_{\nu }}{B_{n}}}\to 0{\text{ amb }}n\to +\infty {\text{ (mantenint }}\nu {\text{ fix)}},$

i obtenim

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq l,\quad \forall l>L,$

Per definició de límit superior mínim, això significa precisament això

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}},$

i hem acabat.

Prova de l'enunciat original

Ara, prenem $(a_{n}),(b_{n})$ com en l'enunciat de la forma general del teorema de Stolz-Cesàro i definim

$\alpha _{1}=a_{1},\alpha _{k}=a_{k}-a_{k-1},\,\forall k>1\quad \beta _{1}=b_{1},\beta _{k}=b_{k}-b_{k-1}\,\forall k>1$

a partir que $(b_{n})$ és estrictament monòton (podem suposar que augmenta estrictament, per exemple), $\beta _{n}>0$ per a tot $n$ i a partir que $b_{n}\to +\infty$ també $\mathrm {B} _{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+\dots +(b_{n}-b_{n-1})=b_{n}\to +\infty$, així podem aplicar el teorema que acabem de demostrar $(\alpha _{n}),(\beta _{n})$ (i les seves sumes parcials $(\mathrm {A} _{n}),(\mathrm {B} _{n})$)

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\mathrm {A} _{n}}{\mathrm {B} _{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}},$

que és exactament el que volíem demostrar.

Bibliografia

• Cesàro, Ernesto. Sur la convergence des séries (en francès). 7. Nouvelles Annales de Mathématiques, 1888, p. 49-59 (Series 3). 
• Choudary, A. D. R; Niculescu, Constantin. Real Analysis on Intervals (en anglès). Springer, 2014, p. 59-62. ISBN 978-81-322-2147-0. 
• Marshall Ash, J; Berele, Allan; Catoiu, Stefan «Plausible and Genuine Extensions of L’Hospital's Rule» (en anglès). Mathematics Magazine, 85(1), febrer 2012, pàg. 52-60. JSTOR: 10.4169/math.mag.85.1.52.
• Mureşan, Marian. A Concrete Approach to Classical Analysis (en anglès). Berlín: Springer, 2008, p. 85-88. ISBN 978-0-387-78932-3. 
• Pólya, George; Szegő, Gábor. Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis (en alemany). I. Berlín: Springer, 1925. 
• Stolz, Otto. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten (en alemany). Leipzig: Teubners, 1885, p. 173-175.