Compost polièdric

Un compost polièdric és una figura composta per diversos políedres que comparteixen un centre comú. Són els anàlegs tridimensionals dels compostos poligonals com l'hexagrama. Els vèrtexs veïns d'un compost es poden connectar per formar un políedre convex anomenat l'envolupant convexa. El compost és un facetatge de l'envolupant convexa. Un altre poliedre convex es forma pel petit espai central comú a tots els membres del compost. Aquest políedre es pot considerar el nucli per a un conjunt de estelacions incloent-hi el mateix compost (vegeu Llista de models de políedre de Wenninger per a aquests compostos i altres estelacions).

Compostos regulars

Un compost polièdric regular es pot definir com un compost que, com un políedre regular, els seus vèrtex, cares i arestes són homogenis. Amb aquesta definició hi ha 5 composts regulars.

Components	Figura	Envolupant convexa	Nucli	Simetria	Dual
Compost de dos tetràedres, o Estel octangle		Cub	Octàedre	Oh	Ell mateix
Compost de cinc tetràedres		Dodecàedre	Icosàedre	I	enantiomorf, o bessó quiral
Compost de deu tetràedres		Dodecàedre	Icosàedre	Ih	Ell mateix
Compost de cinc cubs		Dodecàedre	Triacontàedre ròmbic	Ih	Compost de cinc octàedres
Compost de cinc octàedres		Icosidodecàedre	Icosàedre	Ih	Compost de cinc cubs

El més conegut és el compost de dos tetràedres, sovint anomenat l'estrella octangula, un nom donat per Kepler. Els vèrtexs dels dos tetràedres defineixen un cub i la intersecció del dos un octàedre, que comparteix els mateixos plans de les cares que els compost. Així és una estelació de l'octàedre, i de fet l'única estelació finita seva. L'estrella octangula també es pot considerar com a compost dual regular. El compost de cinc tetràedres té dues versions enantiomòfiques, que juntes constitueixen el compost per 10 tetràedres. Cada un dels composts tetraèdrics és autodual, i el compost de 5 cubs és dual al compost de 5 octàedres.

Compostos dual-regular

Un compost dual-regular es compon d'un políedre regular (un dels sòlids platònics o políedre de Kepler-Poinsot) i el seu dual regular, arranjat recíprocament sobre una interesfera comuna, tal que l'aresta d'un poliedre interseca l'aresta dual del políedre dual. N'hi ha cinc d'aquests compostos.

Components	Imatge	envolupant convexa	Nucli	Simetria
Compost de dos tetràedres		Cub	Octàedre	Oh
Compost de cub i octàedre		Dodecàedre ròmbic	Cuboctàedre	Oh
Compost de dodecàedre i icosàedre		Triacontàedre ròmbic	Icosidodecàedre	Ih
Compost de gran icosàedre i gran dodecàedre de estelat		Dodecàedre	Icosàedre	Ih
Compost de petit dodecàedre estelat i gran dodecàedre		Icosàedre	Dodecàedre	Ih

El compost dual-regular d'un tetràedre amb el seu políedre dual és també l'estrella octangula regular, ja que el tetràedre és autodual. Els compostos cub-octàedre i dodecàedre-icosàedre són les primeres estelacions del cuboctàhedre i l'icosidodecàedre, respectivament. El compost de petit dodecàedre estelat i gran dodecàedre exteriorment sembla el mateix que el petit dodecàedre estelat, perquè el gran dodecàedre queda completament contingut dins.

Composts uniformes

El 1976 John Skilling va publicar Compostos uniformes de iolíedres uniformes on enumerava 75 compostos (incloent-hi 6 conjunts infinits de prismes compostos, #20-#25) fets de políedres uniformes amb simetria rotacional. (Tots els vèrtexs són homogenis.) Aquesta llista inclou els cinc composts regulars de dalt. Aquí es presenta una taula amb les figures dels 75 compostos uniformes llistats per Skilling. Molts estan pintats amb un color diferent per cada políedre component. Alguns com els parells quirals estan pintats per la simetria de les cares dins de cada políedre.

• 1-19: Diversos (els 4,5,6,9,17 són els 5 composts regulars)

• 20-25: 20-25: Simetria prismàtica encaixada en la simetria dièdrica en tres dimensions,

• 26-45: Simetria prismàtica encaixada en la simetria de l'octàedre o l'icosàedre,

• 46-67: Simetria tetraèdrica encaixada en la simetria de l'octàedre o l'icosàedre,

• 68-75: parells enantiomorfs

Bibliografia

• John Skilling, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Vol. 79, pp. 447-457, 1976.
• Peter R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge, 1997.
• Magnus Wenninger Dual Models Cambridge, England, Cambridge University Press, 1983. (51-53)
• Michael G. Harman, Polyhedral Compounds, unpublished manuscript, circa 1974
• Edmund Hess 1876 "Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder", Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg 11 (1876) pp 5-97.
• Luca Pacioli, De Divina Proportione, 1509

Vegeu també

• Compost polièdric uniforme

Enllaços externs

• MathWorld: Polyhedron Compound
• Compound polyhedra – from Virtual Reality Polyhedra
• Polyhedral Compounds Arxivat 2007-01-02 a Wayback Machine.