Distribució exponencial envoltada

En la teoria de la probabilitat i l'estadística direccional, una distribució exponencial envoltada és una distribució de probabilitat envoltada que resulta de l'"embolcall" de la distribució exponencial al voltant del cercle unitari.

Distribució exponencial envoltada

Funció de densitat de probabilitat El suport es tria per ser [0,2π]
Funció de distribució de probabilitat El suport es tria per ser [0,2π]
Paràmetres	$\lambda >0$
Suport	$0\leq \theta <2\pi$
fdp	${\frac {\lambda e^{-\lambda \theta }}{1-e^{-2\pi \lambda }}}$
FD	${\frac {1-e^{-\lambda \theta }}{1-e^{-2\pi \lambda }}}$
Esperança matemàtica	$\arctan(1/\lambda )$ (circular)
Variància	$1-{\frac {\lambda }{\sqrt {1+\lambda ^{2}}}}$ (circular)
Entropia	$1+\ln \left({\frac {\beta -1}{\lambda }}\right)-{\frac {\beta }{\beta -1}}\ln(\beta )$ on $\beta =e^{2\pi \lambda }$ (diferencial)
FC	${\frac {1}{1-in/\lambda }}$

Definició

La funció de densitat de probabilitat de la distribució exponencial envoltada és

$f_{WE}(\theta ;\lambda )=\sum _{k=0}^{\infty }\lambda e^{-\lambda (\theta +2\pi k)}={\frac {\lambda e^{-\lambda \theta }}{1-e^{-2\pi \lambda }}},$

per $0\leq \theta <2\pi$ on $\lambda >0$ és el paràmetre de velocitat de la distribució sense embolcall. Això és idèntic a la distribució truncada obtinguda restringint els valors observats X de la distribució exponencial amb el paràmetre de velocitat λ al rang $0\leq X<2\pi$.

Funció característica

La funció característica de l'exponencial embolicat és només la funció característica de la funció exponencial avaluada en arguments enters:

$\varphi _{n}(\lambda )={\frac {1}{1-in/\lambda }}$

que produeix una expressió alternativa per a la fdp exponencial embolicat en termes de la variable circular z=e ^{i (θ -m)} vàlida per a tots els θ i m reals:

${\begin{aligned}f_{WE}(z;\lambda )&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {z^{-n}}{1-in/\lambda }}\\[10pt]&={\begin{cases}{\frac {\lambda }{\pi }}\,{\textrm {Im}}(\Phi (z,1,-i\lambda ))-{\frac {1}{2\pi }}&{\text{if }}z\neq 1\\[12pt]{\frac {\lambda }{1-e^{-2\pi \lambda }}}&{\text{if }}z=1\end{cases}}\end{aligned}}$

on $\Phi ()$ és la funció transcendent de Lerch.