Distribució gaussiana inversa generalitzada

En teoria i estadística de probabilitats, la distribució gaussiana inversa generalitzada (GIG) és una família de tres paràmetres de distribucions de probabilitat contínues amb funció de densitat de probabilitat.

Generalized inverse Gaussian

Funció de densitat de probabilitat
Tipus	família exponencial i distribució de probabilitat contínua
Epònim	Carl Friedrich Gauß i Herbert Sichel (en)
Paràmetres	a > 0, b > 0, p real
Suport	x > 0
fdp	$f(x)={\frac {(a/b)^{p/2}}{2K_{p}({\sqrt {ab}})}}x^{(p-1)}e^{-(ax+b/x)/2}$
Variància	$\left({\frac {b}{a}}\right)\left[{\frac {K_{p+2}({\sqrt {ab}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}-\left({\frac {K_{p+1}({\sqrt {ab}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}\right)^{2}\right]$

$f(x)={\frac {(a/b)^{p/2}}{2K_{p}({\sqrt {ab}})}}x^{(p-1)}e^{-(ax+b/x)/2},\qquad x>0,$

on K_p és una funció de Bessel modificada del segon tipus, a > 0, b > 0 i p un paràmetre real. S'utilitza àmpliament en geoestadística, lingüística estadística, finances, etc. Aquesta distribució va ser proposada per primera vegada per Étienne Halphen. Va ser redescoberta i popularitzada per Ole Barndorff-Nielsen, que la va anomenar distribució gaussiana inversa generalitzada. Les seves propietats estadístiques es discuteixen a les notes de la conferència de Bent Jørgensen.

Propietats

Per fixació $\theta ={\sqrt {ab}}$ i $\eta ={\sqrt {b/a}}$, podem expressar alternativament la distribució GIG com $f(x)={\frac {1}{2\eta K_{p}(\theta )}}\left({\frac {x}{\eta }}\right)^{p-1}e^{-\theta (x/\eta +\eta /x)/2},$on $\theta$ és el paràmetre de concentració mentre $\eta$ és el paràmetre d'escala.

Barndorff-Nielsen i Halgreen van demostrar que la distribució GIG és infinitament divisible.

Característica d'una variable aleatòria $X\sim GIG(p,a,b)$ es dóna com (per a una derivació de la funció característica, vegeu materials suplementaris de)

$E(e^{itX})=\left({\frac {a}{a-2it}}\right)^{\frac {p}{2}}{\frac {K_{p}\left({\sqrt {(a-2it)b}}\right)}{K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)}}$

per $t\in \mathbb {R}$ on $i$ denota el nombre imaginari.