Topologia cofinita

En matemàtiques, la topologia dels complementaris finits o topologia cofinita sobre un conjunt $X$ és la topologia definida per

${\mathcal {T}}_{cof}=\{A\subseteq X:X\setminus A{\text{ és finit ó }}A=\emptyset \}$

És a dir, un subconjunt $A$ de $X$ és obert si el seu complementari és un conjunt finit.

Propietats

Algunes propietats de la topologia cofinita sobre un conjunt $X$:

• Si $X$ és finit, la topologia cofinita és la topologia discreta. En aquest cas, un subconjunt $A\subseteq X$ és obert si, i només si, és tancat.
• La topologia cofinita sobre $X=\mathbb {R}$ és menys fina que la topologia estàndard.
• Un subconjunt $A\subseteq X$ és tancat si, i només si, $A=X$, $A=\emptyset$ ó $A$ és finit.
• Si $x\in U\subseteq X$, llavors $U$ és un entorn de $x$ si, i només si, $X\setminus U$ és finit.
• Tot espai $X$ amb la topologia cofinita és T₁ i, per tant, T₀.
• Si $X$ és infinit, llavors no és de Hausdorff. Com a conseqüència, tampoc és T₃.
• Tot espai $X$ amb la topologia cofinita és compacte i, per tant, també és de Lindelöf.

Vegeu també

• Espai de Hausdorff

Bibliografia

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr.. Counterexamples in Topology. Dover reimpressió de 1978. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1978. ISBN 978-0-486-68735-3.