Exponencial integral

En l'àmbit de les matemàtiques, l'exponencial integral és una funció especial definida en el pla complex i identificada amb el símbol $Ei$.

Gràfica de l'exponencial integral de $x$
(funció $Ei(x)$)

La funció exponencial integral, $Ei(x)$, es defineix per:

${\mbox{Ei}}(x)=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t\,=\int _{-\infty }^{x}{\frac {{\rm {e}}^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.$

Com la integral de $1/t$ divergeix en 0, aquesta definició ha de ser entesa en termes del valor principal de Cauchy.

${\mbox{Ei}}(x)=\lim _{\delta \to 0}\left[\int _{-\infty }^{\delta }{\frac {e^{t}}{t}}\mathrm {d} t+\int _{\delta }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\mathrm {d} t\right]$

L'algorisme de Risch mostra que no és una funció elemental.

La funció exponencial integral es pot desenvolupar en la sèrie:

${\mbox{Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\;k!}}$ (on γ és la constant d'Euler-Mascheroni).

Està connectada a una altra funció definida per:

${\rm {E}}_{1}(x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t=-\int _{-\infty }^{-x}{\frac {{\rm {e}}^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.$

Aquesta funció amplia l'exponencial integral als reals negatius donada la identitat:

${\rm {Ei}}(-x)=-{\rm {E}}_{1}(x).$

Les dues funcions s'expressen en funció de la funció entera definida per:

${\rm {Ein}}(x)=\int _{0}^{x}(1-{\rm {e}}^{-t})\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k\;k!}}.$

i es pot escriure

${\rm {E}}_{1}(x)=-\gamma -\ln x+{\rm {Ein}}(x)$

o

${\rm {Ei}}(-x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ein}}(x).$

Definicions

Gràfica de la funció $\mathrm {E_{1}}$ (a dalt) i de la funció $Ei$ (a baix)

Per a valors reals de $x$, la funció exponencial integral, $Ei(x)$, es defineix com

${\mbox{Ei}}(x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.\,$

Aquesta definició pot ser utilitzada per a valors positius de $x$, però a causa de la singularitat de l'integrant en zero, la integral ha de ser interpretada en terme del valor principal de Cauchy. Per a valors complexos de l'argument, aquesta definició és ambigua a causa dels punts de ramificació en $0$ i en $\infty$. En general, es realitza un tall en l'eix real negatiu i $Ei$ pot ser definida mitjançant una continuació analítica a la resta del pla complex.

S'utilitza la següent notació,

$\mathrm {E} _{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi$

Per a valors positius de la part real de $z$, això es pot expressar com

$\mathrm {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad \Re (z)\geq 0.$

El comportament de $\mathrm {E_{1}}$ prop de la branca tallada pot ser analitzat mitjançant la següent relació:

$\lim _{\delta \to 0\pm }\mathrm {E_{1}} (-x+i\delta )=-\mathrm {Ei} (x)\mp i\pi ,\qquad x>0,$

Propietats

Les propietats de l'exponencial integral mostrades, a vegades, permeten sortejar l'avaluació explícita de la funció a partir de la definició donada a dalt.

Sèries convergents

Després d'integrar la sèrie de Taylor de $e^{-t}/t$, i extreure la singularitat logarítmica, es pot obtenir la següent representació en forma de sèrie de $\mathrm {E_{1}} (x)$ per a $x$ real:

$\mathrm {Ei} (x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\;k!}}\qquad x>0$

Per arguments complexos fora de l'eix real, aquesta sèrie es generalitza en

$\mathrm {E_{1}} (z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}\qquad (|\mathrm {Arg} (z)|<\pi )$ (on $\gamma$ és la constant d'Euler-Mascheroni).

La suma convergeix per a tot $z$ complex, i prenem el valor usual del logaritme complex amb el tall de branca al llarg de l'eix real negatiu. Aquesta fórmula es pot utilitzar per calcular $E_{1}(x)$ amb operacions de punt flotant per a $x$ real entre 0 i 2,5. Per $x>2.5$, el resultat és inexacte i pot causar una cancel·lació numérica.

Ramanujan va trobar una sèrie convergent més ràpida:

${\rm {Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\exp {(x/2)}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}$

Sèries asimptòtiques (divergents)

Error relatiu de l'aproximació asimptòtica per a diferents valors del nombre $N$ en funció de la suma parcial : $N=1$ (vermell), $2$ (verd), $3$ (groc), $4$ (blau) i $5$ (rosa)

Per desgràcia, la convergència de les sèries mostrades a dalt és molt lenta per arguments amb gran mòdul. Per exemple, per $x=10$, es necessiten més de 40 termes per obtenir una resposta correcta amb 3 xifres significatives. No obstant això, hi ha una sèrie asimptòtica divergent que pot ser obtinguda a partir de la integració per parts de $ze^{z}\mathrm {E_{1}} (z)$:

$\mathrm {E_{1}} (z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}$

on l'error és de l'ordre $O(N!z^{-N})$ i és vàlid per a grans valors de $\mathrm {Re} (z)$.

L'error relatiu de la sèrie asimptòtica es mostra a la gràfica de la dreta per a diversos valors de $N$ ($N=1$ en vermell, $N=5$ en rosa).

Comportament exponencial i logarítmic: Acotaments

Acotament de $\mathrm {E_{1}}$ per funcions elementals

De les sèries donades a dalt, es dedueix que $\mathrm {E_{1}}$es comporta com una exponencial negativa per a grans valors de l'argument i com un logaritme per a petits valors del mateix. Per a valors reals positius de l'argument, $\mathrm {E_{1}}$ queda acotada superior i inferiorment per les funcions elementals:

${\frac {1}{2}}e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<\mathrm {E_{1}} (x)<e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)\qquad x>0$

La part esquerra de la desigualtat es mostra a la gràfica de la dreta en blau, la part central, que és $\mathrm {E_{1}} (x)$, és la corba negra i la part de la dreta és la corba vermella.

Definició mitjançant $\mathrm {Ein}$

Les funcions $\mathrm {Ei}$ i $\mathrm {E_{1}}$ poden ser escrites de forma més simple mitjançant la funció entera $\mathrm {Ein}$, definida com:

$\mathrm {Ein} (z)=\int _{0}^{z}(1-e^{-t})\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}$

(cal notar que aquesta és la sèrie alternada que apareixia en la definició de $\mathrm {E_{1}}$. Se segueix immediatament que:

$\mathrm {E_{1}} (z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z)\qquad |\mathrm {Arg} (z)|<\pi$

$\mathrm {Ei} (x)\,=\,\gamma +\ln x-\mathrm {Ein} (-x)\qquad x>0$

Relació amb altres funcions

La integral exponencial està estretament relacionada amb la funció logaritme integral, definida com:

${\mbox{li}}(x):={\mbox{Ei}}(\ln(x))$

per a tot $x$ real positiu més gran d'$1$.

L'equació de Kummer

$z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0$

en general es resol mitjançant les funcions hipergeomètriques confluents $M(a,b,z)$ i $U(a,b,z).$ Però quan $a=0$ i $b=1,$ llavors

$z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(1-z){\frac {dw}{dz}}=0$

tenim

$M(0,1,z)=U(0,1,z)=1$

per a tot $z$. Una segona solució ve donada llavors per $E_{1}(-z)$. De fet,

$E_{1}(-z)=-\gamma -i\pi +{\frac {\partial [U(a,1,z)-M(a,1,z)]}{\partial a}},\qquad 0<{\rm {Arg}}(z)<2\pi$

amb la derivada avaluada en $a=0.$ Una altra relació amb les funcions hipergeométriques confluents és que $E_{1}$ és una funció de temps exponencial $U(1,1,z)$:

$E_{1}(z)=e^{-z}U(1,1,z)$

L'exponencial integral també pot ser generalitzada a

$E_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,dt,$

que es pot escriure com un cas especial de la funció gamma incompleta:

$E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).$

Per obtenir més informació sobre les propietats d'aquesta funció, consulteu l'article més extens sobre la funció gamma incompleta. La forma generalitzada a vegades es diu la funció Misra $\varphi _{m}(x)$, definida com:

$\varphi _{m}(x)=E_{-m}(x).$

Incloent un logaritme es defineix la funció integral exponencial generalitzada

$E_{s}^{j}(z)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{1}^{\infty }(\log t)^{j}{\frac {e^{-zt}}{t^{s}}}\,dt$.

La integral indefinida:

$\mathrm {Ei} (a\cdot b)=\iint e^{ab}\,da\,db$

és similar en forma a la funció generatriu ordinària per $d(n)$, el nombre de divisors de $n$:

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }d(n)x^{n}=\sum \limits _{a=1}^{\infty }\sum \limits _{b=1}^{\infty }x^{ab}$

Derivades

Les derivades de les funcions $\mathrm {E_{n}}$ es poden obtenir mitjançant l'ús de la fórmula

$\mathrm {E_{n}} '(z)=-\mathrm {E_{n-1}} (z)\qquad (n=1,2,3,\ldots )$

Vegeu que la funció $\mathrm {E_{0}}$ és senzilla d'avaluar (donant un terme inicial a la relació recursiva), ja que és $e^{-z}/z$.

Exponencial integral d'un argument imaginari

$\mathrm {E_{1}} (ix)$ respecte a $x$; part real en negre, part imaginària en vermell

Si $z$ és imaginari i la funció té una part real no nul·la, podem fer servir la fórmula

$\mathrm {E_{1}} (z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,\mathrm {d} t$

per obtenir una relació de l'exponencial integral amb les integrals trigonomètriques $\mathrm {Si}$ i $\mathrm {Ci}$:

$\mathrm {E_{1}} (ix)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+\mathrm {Si} (x)\right)-\mathrm {Ci} (x)\qquad (x>0)$

Les parts real i imaginària de $\mathrm {E_{1}} (x)$ estan dibuixades en la gràfica de la dreta, en negre i vermell respectivament.

Aproximacions

Hi ha un nombre d'aproximacions per a la funció exponencial integral. Aquestes inclouen:

Aproximació de Swamee i Ohija

$E_{1}(x)=(A^{-7.7}+B)^{-0.13}$,

on $A=\ln {\bigg [}{\bigg (}{\frac {0.56146}{x}}+0.65{\bigg )}(1+x){\bigg ]}$, i $B=x^{4}e^{7.7x}(2+x)^{3.7}$

Aproximació d'Allen i Hastings

$E_{1}(x)={\begin{cases}\ln {x}+{\textbf {a}}^{T}{\textbf {x}}_{5},&x\leq 1\\{\frac {e^{-x}}{x}}{\frac {{\textbf {b}}^{T}{\textbf {x}}_{4}}{{\textbf {c}}^{T}{\textbf {x}}_{4}}},&x\geq 1\end{cases}}$

on ${\textbf {a}}\triangleq [-0.57722,0.99999,-0.24991,0.5519,-0.00976,0.00108]^{T}$, ${\textbf {b}}\triangleq [0.26777,8.63476,18.05902,8.57333]^{T}$, ${\textbf {c}}\triangleq [3.95850,21.09965,25.63296,9.57332]^{T}$, i ${\textbf {x}}_{k}\triangleq [x^{0},x^{1},\dots ,x^{k}]^{T}$.

Expansió en fracció contínua

Vegeu també: Fracció contínua

$E_{1}(x)={\cfrac {e^{-x}}{x+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{x+{\cfrac {3}{\dots }}}}}}}}}}}}.$

Aproximació de Barry, Parlange i Lee

$E_{1}(x)={\frac {e^{-x}}{G+(1-G)e^{-x/(1-G)}}}\ln {\bigg [}1+{\frac {G}{x}}-{\frac {1-G}{(h+bx)^{2}}}{\bigg ]}$

on $h={\frac {1}{1+x{\sqrt {x}}}}+{\frac {h_{\infty }q}{1+q}}$, $q={\frac {20}{47}}x^{\sqrt {31/26}}$, $h_{\infty }={\frac {(1-G)(G^{2}-6G+12)}{3G(2-G)^{2}b}},$ $b={\sqrt {\frac {2(1-G)}{G(2-G)}}},$ $G=e^{-\gamma }$, on $\gamma$ és la constant d'Euler–Mascheroni.

Per a valors de $x$ entre 0 i 2,5

Sigui:

$\mathrm {E_{1}} (z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}\qquad (|\mathrm {Arg} (z)|<\pi ).$

La suma convergeix per a tot $x$ real positiu, però amb operacions de punt flotant, el resultat és incorrecte per $x>2,5$, a causa de la pèrdua de precisió en relació al restar el nombre d'ordres de diferents magnituds.

Per valors de $x$ > 40

Existeix una sèrie divergent que permet d'apropar $E_{1}$ per a valors grans de $Re(z)$ obtinguts mitjançant la integració per parts, el que dona la següent expansió asimptòtica:

$\mathrm {E_{1}} (z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}+o\left({\frac {\exp(-z)}{z^{N}}}\right).$

Per tal de tenir una precisió de 64 bits (doble precisió), s'utilitza el valor $N=40$.

Aplicacions

• Transmissió de calor amb dependència temporal.
• Flux d'aigües subterrànies fora de l'equilibri en la solució de Theis.
• Transferència radiativa en atmosferes estel·lars.
• Equació de difusivitat radial per a fluxos transitoris o de flux no estacionari entre fonts i embornals amb forma de línia recta.
• Solucions a l'equació del transport de neutrons en geometries simplificades 1-D.

Bibliografia

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (en anglès). Nova York: Dover, 1964. ISBN 0-486-61272-4. 
• Allan J, MacLeod. The efficient computation of some generalised exponential integrals (en anglès). J. Comput. Appl. Math. (vol. 148), 2002. DOI 10.1016/S0377-0427(02)00556-3. 
• Barry, D. A; Parlange, J; Li, L. Approximation for the exponential integral (Theis well function) (en anglès). Journal of Hydrology (vol. 227), 2000. DOI 10.1016/S0022-1694(99)00184-5. 
• Bell, George I; Glasstone, Samuel. Nuclear Reactor Theory (en anglès). Van Nostrand Reinhold Company, 1970. 
• Bender, Carl M; Orszag, Steven A. Advanced mathematical methods for scientists and engineers (en anglès). McGraw–Hill, 1978. ISBN 0-07-004452-X. 
• Bleistein, Norman; Handelsman, Richard A. Asymptotic Expansions of Integrals (en anglès). Dover, 1986. ISBN 0-486-65082-0. 
• Busbridge, Ida W. On the integro-exponential function and the evaluation of some integrals involving it (vol. 1) (en anglès). Oxford: Quart. J. Math., 1950. DOI 10.1093/qmath/1.1.176. 
• Chiccoli, C; Lorenzutta, S; Maino, G. On the evaluation of generalized exponential integrals E_ν(x) (en anglès). J. Comput. Phys. (vol. 78), 1988. DOI 10.1016/0021-9991(88)90050-2. 
• Chiccoli, C; Lorenzutta, S; G, Maino. Recent results for generalized exponential integrals (en anglès). Computer Math. Applic. (vol. 19), 1990. DOI 10.1016/0898-1221(90)90098-5. 
• Giao, Pham Huy. Revisit of Well Function Approximation and An Easy Graphical Curve Matching Technique for Theis' Solution». Ground Water, vol. 41, 3 (en anglès), 2003. DOI 10.1111/j.1745-6584.2003.tb02608.x. 
• Milgram, M. S. The generalized integro-exponential function (en anglès). Mathematics of Computation (vol. 44), 1985. DOI 10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4. , jstor 2007964, mr 0777276
• Misra, Rama Dhar; Born, M. On the Stability of Crystal Lattices. II (en anglès). Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (vol. 2), 1940. DOI 10.1017/S030500410001714X. 
• Press, W.H; Teukolsky, S.A; Vetterling, W.T; Flannery, B.P. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (en anglès), 2007. ISBN 978-0-521-88068-8. 
• Sharma, R. R; Zohuri, Bahman. A general method for an accurate evaluation of exponential integrals E₁(x), x>0 (en anglès). J. Comput. Phys. (vol. 25), 1977. DOI 10.1016/0021-9991(77)90022-5. 
• Stankiewicz, A. Tables of the integro-exponential functions (en anglès). Acta Astronomica (vol. 18), 1968. 
• Tseng, Peng-Hsiang; Lee, Tien-Chang. Numerical evaluation of exponential integral: Theis well function approximation (en anglès). Journal of Hydrology (vol. 205), 1998. DOI 10.1016/S0022-1694(97)00134-0. 

Vegeu també

• Constant de Gompertz
• Cosinus integral
• Integral de Goodwin-Staton
• Logaritme integral
• Sinus integral

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Exponential Integral» a MathWorld (en anglès). (anglès)
• Weisstein, Eric W., «En-Function» a MathWorld (en anglès). (anglès)
• Formulas and identities for Ei (anglès)