Logaritme integral

En matemàtiques, la funció logaritme integral o logaritme integral, , és una funció especial de rellevància significativa en problemes de física i teoria de nombres, car dona una estimació de la quantitat de nombres primers menors que un determinat valor (teorema dels nombres primers).

Representació integralModifica

 
Gràfic de la funció del logaritme integral

El logaritme integral té una representació integral definida per a tots els nombres reals positius   per la integral definida :

 

Aquí,   denota el logaritme natural. La funció   té una singularitat en l'instant  , i la integral per   ha de ser interpretada com un valor principal de Cauchy

 

Integral logarítmica desplaçadaModifica

La integral logarítmica desplaçada o integral logarítmica euleriana és definida com

 

o, representat com una integral

 

Com a tal, aquesta representació integral té l'avantatge que evita la singularitat en el domini d'integració.

Aquesta funció té la propietat de ser una bona aproximació del nombre de primers menors que un nombre donat  , i per tant, és la base del teorema dels nombres primers.

Representació en forma de sèrieModifica

La funció   està relacionada amb l'exponencial integral   mitjançant l'equació

 

que és vàlida per a  . Aquesta identitat proporciona una representació en forma de sèrie de   com:

 

on γ ≈ 0.57721 56649 01532... és la constant d'Euler-Mascheroni. Una sèrie més ràpida en termes de convergència va ser donada per Ramanujan:[1]

 

Valors especialsModifica

 
La constant de Ramanujan-Soldner en la funció del logaritme integral

La funció   té un zero simple positiu que s'obté per al valor x ≈ 1,45136 92.348 ...; aquest nombre és més conegut com la constant de Ramanujan-Soldner.

li(2) ≈ 1,045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151… és  , on   és la funció gamma incompleta. S'ha d'entendre com el valor principal de Cauchy de la funció.

Desenvolupament asimptòticModifica

El comportament asimptòtic de la funció quan x → ∞ és

 

on   significa cota superior asimptòtica. L'expansió asimptòtica completa és

 

o

 

Això dona el següent comportament asimptòtic més precís:

 


Cal notar, que com expansió asimptòtica, aquesta sèrie és no convergent. Aquesta és una aproximació raonable només si la sèrie es trunca per a un nombre finit de termes, i només quan es fan servir valors de   prou grans. Aquesta expansió es dedueix directament de l'expansió asimptòtica de la integral exponencial.

Importància en la teoria de nombresModifica

Vegeu també: Teoria de nombres

La integral logarítmica és important en la teoria de nombres, ja que és utilitzada per fer una estimació de la quantitat de nombres primers menors que un valor donat. Per exemple, el teorema dels nombres primers assegura que:

 

on   indica la quantitat de nombres primers que hi ha per un valor menor o igual a  .

A la pràctica, la fórmula es pot utilitzar per obtenir una bona aproximació de la quantitat de nombres primers de menys de o igual a  . El valor de   es manté per sobre de   fins a un nombre extremadament gran, i molts matemàtics pensaven que sempre hauria de seguir superior. Però en 1914, Littlewood va demostrar que la diferència   continuava sent positiva fins a un nombre extremadament gran, i que llavors canviava de signe un nombre infinit de vegades, per als quals hi ha un nombre infinit de valors de   per als quals   és major de  .

En 1933, el matemàtic sud-africà Stanley Skewes va demostrar un límit superior per al més petit d'aquests valors. Suposant que la hipòtesi de Riemann sigui verdadera, va valuar aquest límit prop de  . Posteriorment aquest límit, immensament gran, s'ha reduït significativament, i en l'actualitat és 1,39 × 10316.[2]

ReferènciesModifica

Vegeu tambéModifica