Icositetràedre trapezoidal

En geometria, l'icositetràedre trapezoidal o icositetràedre deltoidal és un dels tretze políedres de Catalan, té 24 cares trapezoidals. Les seves cares són trapezoides amb dos costats iguals que es troben en un vèrtex i dos costats més llargs iguals entre si que es troben en el vèrtex oposat. Els dos costats més llargs mesuren ${\sqrt {\begin{matrix}{9 \over 2}-2{\sqrt {2}}\end{matrix}}}$ vegades la longitud dels altres dos més curts.

Icositetràedre trapezoidal

Model 3D
Tipus	Políedre de Catalan i icositetraedre
Forma de les cares	deltoide (24)
Dual	rombicuboctàedre
Elements
Vèrtexs	26
Arestes	48
Cares	24
Més informació
MathWorld	DeltoidalIcositetrahedron

Àrea i volum

Les fórmules per calcular l'àrea A i el volum V d'un icositetràedre trapezoidal tal que les seves arestes més curtes tenen logituds a són les següents:

$A=6{\sqrt {29-2{\sqrt {2}}}}\ a^{2}$

$V={\sqrt {122+71{\sqrt {2}}}}\ a^{3}$

Dualitat

El políedre dual de l'icositetràedre trapezoidal és el rombicuboctàhedre.

Desenvolupament pla

Desenvolupament pla de l'icositetràedre trapezoidal

Simetries

El grup de simetria de l'icositetràedre trapezoidal té 48 elements; el grup de les simetries que preserven les orientacions és el grup octàedric $O\cong S_{4}$. Són els mateixos grups de simetria que pel cub, l'octàedre, el cub truncat i l'octàedre truncat.

Relació amb altres políedres

Els 8 vèrtex de l'icositetràedre trapezoidal als que hi concorren 3 cares són vèrtex d'un cub

Els sis vèrtex als que hi concorren 4 cares amb totes les arestes més llargues són vèrtex d'un octàedre.

Els altres 12 vèrtex, en els que hi concorren 4 cares amb dues arestes curtes i dues arestes llargues alternades, són vèrtex d'un cuboctàedre.

Les 24 arestes llargues de l'icositetràedre trapezoidal, formen amb grups de 8, 3 octàgons regulars.

Tallant-lo al llarg del pla sobre el que descansa un dels eixos, l'icositetràedre trapezoidal queda dividit en dues meitats. Les dues meitats es poden girar 45 graus i enganxar-les altre cop, això origina un altre políedre, isòmer de l'icositetràedre trapezoidal. Aquest nou políedre és el dual de la Girobicúpula quadrada allargada, que al seu tron és isòmer del robicuboctàedre.

A la natura

El mineral analcita habitualment cristal·litza en forma d'icositetràedre trapezoidal i ocasionalment també ho fa el granat.

Vegeu també

• Políedre arquimedià
• Políedre de Catalan
• Políedre regular
• Sòlid platònic
• Sòlid de Johnson

Bibliografia

• H. M. Cundy & A. P. Rollett. I modelli matematici. Milà: Feltrinelli, 1974. 

• Dedò, Maria. Forme, simmetria e topologia. Bolonya: Decibel & Zanichelli, 1999. ISBN 88-08-09615-7. 

Enllaços externs

• Políedres I Arxivat 2009-05-09 a Wayback Machine. Pàgina 25
• Deltoidal icositetrahedron Icositetràedre trapezoidal a Mathworld