En matemàtiques , una sèrie newtoniana , anomenada així en honor de Isaac Newton , és una suma en una successió
a
n
{\displaystyle a_{n}}
f
(
s
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
s
n
)
a
n
=
∑
n
=
0
∞
(
−
s
)
n
n
!
a
n
{\displaystyle f(s)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-s)_{n}}{n!}}a_{n}}
on
(
s
n
)
{\displaystyle {s \choose n}}
és el coeficient binomial i
(
s
)
n
{\displaystyle (s)_{n}}
factorial ascendent . Les sèries newtonianes sovint apareixen en relacions de la forma vista en el càlcul llindar .
Llista de sèries newtonianes
modifica
El teorema del binomi generalitzat dona
(
1
+
z
)
s
=
∑
n
=
0
∞
(
s
n
)
z
n
=
1
+
(
s
1
)
z
+
(
s
2
)
z
2
+
⋯
.
{\displaystyle (1+z)^{s}=\sum _{n=0}^{\infty }{s \choose n}z^{n}=1+{s \choose 1}z+{s \choose 2}z^{2}+\cdots .}
Una prova d'aquesta identitat es pot obtenir mostrant que compleix l'equació diferencial
(
1
+
z
)
d
(
1
+
z
)
s
d
z
=
s
(
1
+
z
)
s
.
{\displaystyle (1+z){\frac {d(1+z)^{s}}{dz}}=s(1+z)^{s}.}
La funció digamma :
ψ
(
s
+
1
)
=
−
γ
−
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
n
(
s
n
)
.
{\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}{s \choose n}.}
Els nombres de Stirling de segona espècie són donats per la suma finita
{
n
k
}
=
1
k
!
∑
j
=
0
k
(
−
1
)
k
−
j
(
k
j
)
j
n
.
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}j^{n}.}
Aquesta fórmula és un cas especial de la k-èsima diferència progressiva del monomi x n x = 0:
Δ
k
x
n
=
∑
j
=
0
k
(
−
1
)
k
−
j
(
k
j
)
(
x
+
j
)
n
.
{\displaystyle \Delta ^{k}x^{n}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}(x+j)^{n}.}
Una identitat relacionada forma la base de la integral de Nørlund-Rice :
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
−
1
)
k
s
−
k
=
n
!
s
(
s
−
1
)
(
s
−
2
)
⋯
(
s
−
n
)
=
Γ
(
n
+
1
)
Γ
(
s
−
n
)
Γ
(
s
+
1
)
=
B
(
n
+
1
,
s
−
n
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{s-k}}={\frac {n!}{s(s-1)(s-2)\cdots (s-n)}}={\frac {\Gamma (n+1)\Gamma (s-n)}{\Gamma (s+1)}}=B(n+1,s-n)}
on
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)}
funció gamma , i
B
(
x
,
y
)
{\displaystyle B(x,y)}
funció beta .
Les funcions trigonomètriques tenen identitats llindars :
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
s
2
n
)
=
2
s
/
2
cos
π
s
4
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose 2n}=2^{s/2}\cos {\frac {\pi s}{4}}}
i
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
s
2
n
+
1
)
=
2
s
/
2
sin
π
s
4
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose 2n+1}=2^{s/2}\sin {\frac {\pi s}{4}}}
La naturalesa de l'umbral d'aquestes identitats és una mica més clara escrivint-les en termes de factorial descendent
(
s
)
n
{\displaystyle (s)_{n}}
sinus són
s
−
(
s
)
3
3
!
+
(
s
)
5
5
!
−
(
s
)
7
7
!
+
⋯
{\displaystyle s-{\frac {(s)_{3}}{3!}}+{\frac {(s)_{5}}{5!}}-{\frac {(s)_{7}}{7!}}+\cdots }
que es pot reconèixer com semblant a la sèrie de Taylor per a sin x , amb (s )n x n
En la teoria analítica de nombres és interessant la suma
∑
k
=
0
B
k
z
k
,
{\displaystyle \!\sum _{k=0}B_{k}z^{k},}
on B són els nombres de Bernoulli . Utilitzant la funció generatriu es pot avaluar la seva suma de Borel com
∑
k
=
0
B
k
z
k
=
∫
0
∞
e
−
t
t
z
e
t
z
−
1
d
t
=
∑
k
=
1
z
(
k
z
+
1
)
2
.
{\displaystyle \sum _{k=0}B_{k}z^{k}=\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\frac {tz}{e^{tz}-1}}dt=\sum _{k=1}{\frac {z}{(kz+1)^{2}}}.}
La relació general dona la sèrie de Newton
∑
k
=
0
B
k
(
x
)
z
k
(
1
−
s
k
)
s
−
1
=
z
s
−
1
ζ
(
s
,
x
+
z
)
,
{\displaystyle \sum _{k=0}{\frac {B_{k}(x)}{z^{k}}}{\frac {1-s \choose k}{s-1}}=z^{s-1}\zeta (s,x+z),}
on
ζ
{\displaystyle \zeta }
funció zeta de Hurwitz i
B
k
(
x
)
{\displaystyle B_{k}(x)}
polinomi de Bernoulli . La sèrie no convergeix , la identitat es manté formalment.
Una altra identitat és
1
Γ
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
(
x
−
a
k
)
∑
j
=
0
k
(
−
1
)
k
−
j
Γ
(
a
+
j
)
(
k
j
)
,
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{x-a \choose k}\sum _{j=0}^{k}{\frac {(-1)^{k-j}}{\Gamma (a+j)}}{k \choose j},}
que convergeix en
x
>
a
{\displaystyle x>a}
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
(
x
−
a
h
k
)
∑
j
=
0
k
(
−
1
)
k
−
j
(
k
j
)
f
(
a
+
j
h
)
.
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}{{\frac {x-a}{h}} \choose k}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}f(a+jh).}
Flajolet , Philippe; Sedgewick , Robert «Mellin transforms and asymptotics: Finite differences and Rice's integrals» (en anglès). Theoretical Computer Science , 144, 1995, pàg. 101–124. 
